Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

99
3.2 Óðàâíåíèÿ äëÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ
3.2.1 Óðàâíåíèå Ðåéíîëüäñà
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ Íàâüå-Ñòîêñà â òåíçîðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ
iijjiijjit
fvpvvv ++-=+
- 21
nr , (3.12)
0=
kk
v . (3.13)
Âõîäÿùèå â íèõ âåëè÷èíû ïðåäñòàâèì â âèäå ñóìì ñðåäíèõ ïîëåé è
ïóëüñàöèé:
),(),(),( trutrUtrv
iii
r
r
r
+= , ),(),(),( trptrPtrp
r
r
r
¢
+
=
(3.14)
Ïðè ýòîì, ñîãëàñíî ïðèíÿòûì îïðåäåëåíèÿì, ïðåäïîëàãàþòñÿ ñëå-
äóþùèå ïðàâèëà îñðåäíåíèÿ (óãëîâûå ñêîáêè ïî-ïðåæíåìó îáîçíà÷àþò îñ-
ðåäíåíèå ïî àíñàìáëþ ðåàëèçàöèé):
;0,, ===
iiiii
uUUUv (3.15)
;0,, =
¢
== pPPPp (3.16)
Ðàçëîæåíèÿ (3.14) ïîäñòàâèì â èñõîäíûå óðàâíåíèÿ (3.12)-(3.13):
iijjijjiiijjijjijjijjitit
fuUpPuuUuuUUUuU +++
¢
+-=+++++
-
)()(
221
nr
(3.17)
0=+
kkkk
uU , (3.18)
è ïðîâåäåì îñðåäíåíèå
iijjijjii
ijjijjijjijjitit
fuUpP
uuUuuUUUuU
+++
¢
+-
=+++++
-
)()(
221
nr
0=+
kkkk
uU .
Ó÷èòûâàÿ ïðàâèëà îñðåäíåíèÿ (3.15)-(3.16), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
Ðåéíîëüäñà:
iijjijjiijjit
fuuUPUUU +-+-=+
- 21
nr
, (3.19)
è óðàâíåíèþ íåðàçðûâíîñòè äëÿ ñðåäíåãî ïîëÿ ñêîðîñòè
                                                                                                                                99




            3.2 Óðàâíåíèÿ äëÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ
            3.2.1 Óðàâíåíèå Ðåéíîëüäñà
     Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ Í àâüå-Ñòîêñà â òåíçîðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ

     ¶t vi + v j ¶ j vi = - r - 1¶i p + n¶2jj vi + f i ,                                   (3.12)
     ¶k v k = 0 .                                                                          (3.13)

     Âõîäÿù èå â íèõ âåëè÷èíû ïðåäñòàâèì â âèäå ñóìì ñðåäíèõ ïîëåé è
ïóëüñàöèé:
          r               r               r                  r            r             r
     v i (r , t ) = U i ( r , t ) + u i ( r , t ) ,        p(r , t ) = P (r , t ) + p ¢(r , t )              (3.14)

     Ï ðè ýòîì, ñîãëàñíî ïðèíÿòûì îïðåäåëåíèÿì, ïðåäïîëàãàþòñÿ ñëå-
äóþ ù èå ïðàâèëà îñðåäíåíèÿ (óãëîâûå ñêîáêè ïî-ïðåæíåìó îáîçíà÷àþò îñ-
ðåäíåíèå ïî àíñàìáëþ ðåàëèçàöèé):

         vi = U i ,       Ui = Ui ,            u i = 0;                                             (3.15)
         p = P,         P = P,             p ¢ = 0;                                                 (3.16)

     Ðàçëîæåíèÿ (3.14) ïîäñòàâèì â èñõîäíûå óðàâíåíèÿ (3.12)-(3.13):

     ¶tU i + ¶t u i + U j ¶ jU i + U j ¶ j u i + u j ¶ jU i + u j ¶ j u i = - r - 1 (¶i P + ¶i p ¢) + n (¶2jjU i + ¶2jj u i ) + f i
(3.17)
     ¶k U k + ¶k u k = 0 ,                                                                 (3.18)

     è ïðîâåäåì îñðåäíåíèå

     ¶t U i + ¶t u i + U j ¶ j U i + U j ¶ j u i + u j ¶ j U i + u j ¶ j u i =
     - r - 1 (¶i P + ¶i p ¢) + n (¶ 2jj U i + ¶2jj u i ) +         fi
     ¶k U k + ¶k u k = 0 .

     Ó÷èòûâàÿ ïðàâèëà îñðåäíåíèÿ (3.15)-(3.16), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
Ðåéíîëüäñà:

     ¶tU i + U j ¶ jU i = - r - 1¶i P + n¶2jjU i - ¶ j u j u i +         fi   ,                              (3.19)

     è óðàâíåíèþ íåðàçðûâíîñòè äëÿñðåäíåãî ïîëÿ ñêîðîñòè

Страницы