Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 101 стр.

                                                                                                                   101



Ï îñëå îñðåäíåíèÿ ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ:

                                        (                                 )
    ¶t u j u j + U k ¶ k u i u j = - u i u k ¶ k U j + u j u k ¶ k U i - ¶ k u i u j u k
                                                                                                                (3.24)
             - r - 1 ( u i ¶ j p ¢ + u j ¶i p ¢ ) - n ( u i ¶2kk u j + u j ¶ 2kk u i ) + u i f j¢ + u j f ¢ .
                                                                                                           i



     Â óðàâíåíèè äëÿ êîððåëÿöèîííîãî òåíçîðà ïóëüñàöèé ñêîðîñòè âòî-
ðîãî ïîðÿäêà (3.24) ïîÿâèëñÿ êîððåëÿöèîííûé òåíçîð (ìîìåíò) òðåòüåãî
ïîðÿäêà u i u j u k è íîâûå ìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà, îïèñûâàþ ù èå êîððå-
ëÿöèè ïóëüñàöèé êîìïîíåíò ñêîðîñòè ñ äàâëåíèåì è ñêîðîñòè ñî âòîðûìè
ïðîèçâîäíûìè ñêîðîñòè.
     Äëÿ âíîâü ïîÿâèâø èõñÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ òàêæå ìîæíî íà-
ïèñàòü ýâîëþ öèîííûå óðàâíåíèÿ òèïà (3.24), íî ïðîáëåìû ýòî íå ðåø èò,
òàê êàê â óðàâíåíèå äëÿ ìîìåíòà òðåòüåãî ïîðÿäêà âîéäóò ìîìåíò ÷åòâåð-
òîãî ïîðÿäêà è íîâûå ìîìåíòû òðåòüåãî ïîðÿäêà è òàê äàëåå. Ñèñòåìà
óðàâíåíèé äëÿ ìîìåíòîâ âñå âîçðàñòàþ ù èõ ïîðÿäêîâ íàçûâàåòñÿ öåïî÷êîé
óðàâíåíèé Ô ðèäìàíà-Êåëëåðà è ÿâëÿåòñÿ íåçàìêíóòîé â ïðèíöèïå. Ï ðî-
áëåìà îáðûâà ýòîé öåïî÷êè è ïîëó÷åíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ
ïðîáëåìîé çàìûêàíèÿ è ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíîé ïðîáëåìîé íà ïóòè ïîñòðîå-
íèÿ ìîäåëåé òóðáóëåíòíîñòè, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ îïèñàíèÿ îñðåäíåííûõ
ïîëåé ñêîðîñòè (òåìïåðàòóðû, êîíöåíòðàöèè ïðèìåñè è ò.ä.).
     Âñåïîëóýìïèðè÷åñêèåìîäåëè îñíîâàíû íà ðàçëè÷íûõ èñêóññòâåííûõ
ñïîñîáàõ îáðûâà öåïî÷êè óðàâíåíèé Ô ðèäìàíà-Êåëëåðà. Âñÿêàÿ ïðîöåäóðà
çàìûêàíèÿ òåì èëè èíûì ñïîñîáîì âûðàæàåò ìîìåíòû ïîðÿäêà n ÷åðåç
ìîìåíòû íèçø èõ ïîðÿäêîâ ñ ïîìîù üþ íåêèõ ãèïîòåç. Ì îäåëÿìè çàìûêà-
íèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàþ ò ìîäåëè, âûðàæàþ ù èå ìîìåíòû âòîðîãî ïî-
ðÿäêà ÷åðåç ìîìåíòû ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ì îäåëè çàìûêàíèÿ âòîðîãî ïîðÿä-
êà îñòàâëÿþò ìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà, âûðàæàÿ ÷åðåç íèõ ìîìåíòû
òðåòüåãî ïîðÿäêà è ò.ä. Í àçâàíèå ïîëóýìïèðè÷åñêèå ìîäåëè îòðàæàåò òîò
ôàêò, ÷òî âñåìîäåëè íåïðåìåííî ñîäåðæàò êîíñòàíòû, òðåáóþ ù èå èõ îïðå-
äåëåíèÿ èç îïûòà.
     Ï ðîáëåìó çàìûêàíèÿ ìîæíî ïðîèëëþ ñòðèðîâàòü è íà ïðèìåðå óðàâ-
íåíèÿ äëÿ äàâëåíèÿ. Êàê èçâåñòíî, óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ äàâëåíèÿ ïî-
ëó÷àåòñÿ èç óðàâíåíèÿ Í àâüå-Ñòîêñà (3.12) ïóòåì ïðèìåíåíèÿ ê ïîñëåäíåìó
îïåðàöèè Ñ .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿóðàâíåíèå

     Dp = - r (¶i v j ¶ j vi - ¶i f i ) .                                         (3.25)

     Â óðàâíåíèå (3.25) ïîäñòàâëÿåì ðàçëîæåíèÿ (3.14)

      DP + Dp ¢= - r¶ij (U iU j + U i v j + U j vi + vi v j ) - r (¶i Fi + ¶i f i )                   (3.26)
                             2