Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

131
òåîðåìû çàïðåòà (èëè àíòèäèíàìî òåîðåìû). Ïåðâóþ òåîðåìó äîêàçàë Êàó-
ëèíã (1934ã.), ïîêàçàâ, ÷òî íèêàêîå îñåñèììåòðè÷íîå òå÷åíèå íå ìîæåò ãå-
íåðèðîâàòü ìàãíèòíîå ïîëå. Âòîðóþ òåîðåìó çàïðåòà äîêàçàë Çåëüäîâè÷ â
1956ã. Ñóòü òåîðåìû â òîì, ÷òî ìàãíèòíûå ïîëÿ íå ìîãóò ãåíåðèðîâàòüñÿ
äâóìåðíûìè ïîòîêàìè (ýòî íå èñêëþ÷àåò âîçìîæíîñòè âðåìåííîãî óñèëå-
íèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íî çàïðåùàåò åãî óñòîé÷èâûé ðîñò è ñòàöèîíàðíîå
ïîääåðæàíèå). Òàêèì îáðàçîì, áûëî äîêàçàíî, ÷òî ìåõàíèçì äèíàìî ìîæåò
áûòü ðåàëèçîâàí òîëüêî â ñóùåñòâåííî òðåõìåðíîì ïîòîêå, ïðè÷åì âàæ-
íåéøóþ ðîëü â ýòîì ïðîöåññå èãðàåò ñïèðàëüíîñòü.
 êîíòåêñòå èçëîæåíèÿ ñâîéñòâ è âîçìîæíîñòåé êàñêàäíûõ ìîäåëåé
ÌÃÄ-òóðáóëåíòíîñòü èíòåðåñíà êàê ïðèìåð ñëîæíîãî òóðáóëåíòíîãî òå÷å-
íèÿ, õàðàêòåðèçóåìîãî îñîáûì íàáîðîì èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ. Óðàâíåíèÿ
(7.46)-(7.49) â áåçäèññèïàòèâíîì ïðåäåëå ñîõðàíÿþò òðè êâàäðàòè÷íûå âå-
ëè÷èíû.  ñëó÷àå òðåõìåðíîãî äâèæåíèÿ ýòî îáùàÿ ýíåðãèÿ
E
, ïåðåêðåñò-
íàÿ ñïèðàëüíîñòü
C
H è ìàãíèòíàÿ ñïèðàëüíîñòü
B
H :
(
)
ò
+= rdBvE
r
r
r
22
, (7.50)
(
)
ò
×= rdBvH
C
r
r
r
, (7.51)
(
)
ò
×= rdBAH
B
r
r
r
, (7.52)
ãäå
A
r
åñòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ìàãíèòíîãî ïîëÿ ( AB
r
r
rot= ).  ñëó÷àå äâó-
ìåðíîãî òå÷åíèÿ ïîñëåäíèé èíòåãðàë çàìåíÿåòñÿ êâàäðàòîì âåêòîðíîãî ïî-
òåíöèàëà
(
)
ò
= rdAa
r
r
2
. (7.53)
Íàëè÷èå ó êàñêàäíûõ ìîäåëåé òèïà (7.22) çíàêîïåðåìåííûõ èíòåãðà-
ëîâ ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòûâàòü íà ïîñòðîåíèå ìîäåëè, óäîâëåòâîðÿþùåé âñåì
èçâåñòíûì â ÌÃÄ çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ. Òàêàÿ ìîäåëü áûëà ïðåäëîæåíà â
ðàáîòå
24
â ôîðìå
(
)
(
)
{
( ) ( )
,
4
)1(
2
*
1
*
2
*
1
*
2
*
1
*
1
*
1
*
1
*
2
*
1
*
2
*
1
2
nnnnnnnnn
nnnnnnnt
fBBUUBBUU
BBUUikUkd
+
þ
ý
ü
-
-
+--
--=-
----+-+-
++++
ee
n
(7.54)
(
)
(
)
{
( ) ( )
.gUBBU
)(
UBBU
UBBU)(ikBkRmd
n
*
n
*
n
*
n
*
n
m
*
n
*
n
*
n
*
n
m
*
n
*
n
*
n
*
nmnnnt
+
þ
ý
ü
-
-
+-+
+---=-
----+-+-
++++
-
12121111
2121
2
1
4
1
2
1
ee
ee
(7.55)
24
Frick P.G., Sokoloff D.D. Cascade and dynamo action in a shell model of turbulence // Physical Review E,
1998, Vol.57.N.4. P.4155-4164.
                                                                                                                                           131



òåîðåìû çàïðåòà (èëè àíòèäèíàìî òåîðåìû). Ï åðâóþ òåîðåìó äîêàçàë Êàó-
ëèíã (1934ã.), ïîêàçàâ, ÷òî íèêàêîå îñåñèììåòðè÷íîå òå÷åíèå íå ìîæåò ãå-
íåðèðîâàòü ìàãíèòíîå ïîëå. Âòîðóþ òåîðåìó çàïðåòà äîêàçàë Çåëüäîâè÷ â
1956ã. Ñóòü òåîðåìû â òîì, ÷òî ìàãíèòíûå ïîëÿ íå ìîãóò ãåíåðèðîâàòüñÿ
äâóìåðíûìè ïîòîêàìè (ýòî íå èñêëþ ÷àåò âîçìîæíîñòè âðåìåííîãî óñèëå-
íèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íî çàïðåù àåò åãî óñòîé÷èâûé ðîñò è ñòàöèîíàðíîå
ïîääåðæàíèå). Òàêèì îáðàçîì, áûëî äîêàçàíî, ÷òî ìåõàíèçì äèíàìî ìîæåò
áûòü ðåàëèçîâàí òîëüêî â ñóù åñòâåííî òðåõìåðíîì ïîòîêå, ïðè÷åì âàæ-
íåéø óþ ðîëü â ýòîì ïðîöåññåèãðàåò ñïèðàëüíîñòü.
      Â êîíòåêñòå èçëîæåíèÿ ñâîéñòâ è âîçìîæíîñòåé êàñêàäíûõ ìîäåëåé
Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòü èíòåðåñíà êàê ïðèìåð ñëîæíîãî òóðáóëåíòíîãî òå÷å-
íèÿ, õàðàêòåðèçóåìîãî îñîáûì íàáîðîì èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ. Óðàâíåíèÿ
(7.46)-(7.49) â áåçäèññèïàòèâíîì ïðåäåëå ñîõðàíÿþò òðè êâàäðàòè÷íûå âå-
ëè÷èíû.  ñëó÷àå òðåõìåðíîãî äâèæåíèÿ ýòî îáù àÿ ýíåðãèÿ E , ïåðåêðåñò-
íàÿ ñïèðàëüíîñòü H C è ìàãíèòíàÿ ñïèðàëüíîñòü H B :

                                                            (                )
                                                         r    r r
                                                   E = òv 2 + B 2 dr ,                                                                  (7.50)
                                                           r r r
                                                                (
                                                   H C = òv ×B dr ,      )                                                              (7.51)
                                                                (        )
                                                           r r r
                                                   H B = ò A ×B dr ,                                                                    (7.52)
      r                                                                                                     r           r
ãäå A åñòü âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ìàãíèòíîãî ïîëÿ ( B = rot A ).  ñëó÷àå äâó-
ìåðíîãî òå÷åíèÿ ïîñëåäíèé èíòåãðàë çàìåíÿåòñÿ êâàäðàòîì âåêòîðíîãî ïî-
òåíöèàëà

                                                            ( )
                                                         r r
                                                   a = ò A 2 dr .                                                                       (7.53)

     Í àëè÷èå ó êàñêàäíûõ ìîäåëåé òèïà (7.22) çíàêîïåðåìåííûõ èíòåãðà-
ëîâ ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòûâàòü íà ïîñòðîåíèå ìîäåëè, óäîâëåòâîðÿþ ù åé âñåì
èçâåñòíûì â Ì ÃÄ çàêîíàì ñîõðàíåíèÿ. Òàêàÿ ìîäåëü áûëà ïðåäëîæåíà â
ðàáîòå24 â ôîðìå

            (d   t
                            2
                                )            {(
                     - nkn Un = ikn Un*+ 1Un*+ 2 - Bn*+ 1 Bn*+ 2 -               )
                                    e * *                          (1 - e) *                                                            (7.54)
                                -
                                    2
                                        (
                                      Un- 1Un+ 1 - Bn*- 1 Bn*+ 1 +   ) 4
                                                                                     (                ü
                                                                          Un- 2Un*- 1 - Bn*- 2 Bn*- 1 ý + fn ,     )
                                                                                                      þ

            (d   t                      )
                     - Rm - 1 k n Bn = ik n {( 1 - e - em )(U n* + 1 Bn* + 2 - Bn* + 1U n* + 2 )+
                                    2


                                    em * *                                                                                              (7.55)
                                +      (U n - 1Bn + 1 - Bn* - 1U n* + 1 )+ ( 1 - em ) (U n* - 2 Bn* - 1 - Bn* - 2U n* - 1 )üý + g n .
                                     2                                          4                                           þ


24
  Frick P.G., Sokoloff D.D. Cascade and dynamo action in a shell model of turbulence // Physical Review E,
1998, Vol.57.N.4. P.4155-4164.

Страницы