Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

132
Ïðè 0º
n
B ñèñòåìà (7.54)-(7.55) ñîâïàäàåò ñ ìîäåëüþ GOY (7.22). Â
îáùåì ñëó÷àå ìîäåëü ñîäåðæèò äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð
m
e . Îòìåòèì,
÷òî ýíåðãèÿ è ïåðåêðåñòíàÿ ñïèðàëüíîñòü, âûðàæàåìûå â ìîäåëè â âèäå
(
)
å
+=
n
nn
BUE
22
|||| , (7.56)
(
)
å
+=
n
nnnnC
BUBUH
**
, (7.57)
ñîõðàíÿþòñÿ ñèñòåìîé ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà
m
e . Òðåáîâàíèå ñî-
õðàíåíèÿ âåëè÷èíû
å
-
-=
n
nn
n
B
BkH
2
1
||)1(
, (7.58)
ñëóæàùåé àíàëîãîì ìàãíèòíîé ñïèðàëüíîñòè (7.53), ïðèâîäèò ê îäíîçíà÷-
íîìó îïðåäåëåíèþ îáîèõ ïàðàìåòðîâ: 2/1
=
e
, 3/1=
m
e . Îòìåòèì, ÷òî ïàðà-
ìåòð
e
ñîâïàäàåò ïðè ýòîì ñî çíà÷åíèåì, ïîëó÷àåìûì â ìîäåëè òðåõìåðíîé
òóðáóëåíòíîñòè èç òðåáîâàíèÿ ñîõðàíåíèÿ ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñïèðàëüíî-
ñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïðèáëèæåíèè ñëàáûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé ñèñòåìà
(7.54)-(7.55) âíîâü ñîõðàíÿåò ãèäðîäèíàìè÷åñêóþ ñïèðàëüíîñòü.
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äâóìåðíîé ÌÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè íóæíî ïîòðåáî-
âàòü ñîõðàíåíèÿ âåëè÷èíû
å
-
=
n
nn
Bka
2
2
||
(7.59)
(êâàäðàòà âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà), ÷òî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì çíà÷åíèÿì
ïàðàìåòðîâ: 4/5
=
e
, 3/1-=
m
e .
Ìû ïðèâåäåì òîëüêî íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ ìîäåëèðî-
âàíèÿ ïîâåäåíèÿ ñâîáîäíî âûðîæäàþùåéñÿ ÌÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè, õîòÿ
êàñêàäíàÿ ìîäåëü, î êîòîðîé èäåò ðå÷ü, äàëà íîâûå ðåçóëüòàòû è ïðè èñ-
ñëåäîâàíèè ïîâåäåíèÿ ñòàöèîíàðíî âîçáóæäàåìîé ÌÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè.
Ñâîáîäíîå âûðîæäåíèå ïîäðàçóìåâàåò ðàâåíñòâî íóëþ ñèë
n
f è
n
g â óðàâ-
íåíèÿõ (7.54)-(7.55) è ðåøåíèå çàäà÷è ñ çàäàííûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.
 êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ óñëîâèé ðàññìàòðèâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ïî
ñïåêòðó, ñîîòâåòñòâóþùåå ñïåêòðàëüíûì çàêîíàì âèäà
2
~~
-
kEE
BV
(äëÿ
âñåõ 0
³
n ), óðîâåíü ìàãíèòíîé ýíåðãèè ñóùåñòâåííî íèæå ñîîòâåòñòâóþùå-
ãî óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ( 0001,0,1 »»
BV
EE ). ×èñëî Ðåéíîëüäñà
7
10Re = , ìàãíèòíîå ÷èñëî Ïðàíäòëÿ
3
10Pr
-
=
m
.
Íà ðèñ.7.13 ïîêàçàí õàðàêòåð ýâîëþöèè êèíåòè÷åñêîé (ïóíêòèðíàÿ
ëèíèÿ) è ìàãíèòíîé (òîíêàÿ ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) ýíåðãèè â òðåõìåðíîé ÌÃÄ-
òóðáóëåíòíîñòè (óðàâíåíèÿ ðåøàþòñÿ äëÿ ñëó÷àÿ : 2/1
=
e
, 3/1=
m
e ). Âèäíî,
÷òî çà êîðîòêîå âðåìÿ (áåçðàçìåðíîå âðåìÿ, îïðåäåëåííîå ïî õàðàêòåðíîìó
âðåìåíè îáîðîòà ìàêðîñêîïè÷åñêîãî âèõðÿ UL / , ïîðÿäêà åäèíèöû) ìàã-
íèòíàÿ ýíåðãèÿ äîñòèãàåò óðîâíÿ ïîðÿäêà 1/10 îò óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîé
132



     Ï ðè Bn º 0 ñèñòåìà (7.54)-(7.55) ñîâïàäàåò ñ ìîäåëüþ GOY (7.22). Â
îáù åì ñëó÷àå ìîäåëü ñîäåðæèò äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð em . Îòìåòèì,
÷òî ýíåðãèÿ è ïåðåêðåñòíàÿ ñïèðàëüíîñòü, âûðàæàåìûå â ìîäåëè â âèäå

                                     (                )
                           E = å | U n | 2 + | Bn | 2 ,                    (7.56)
                                 n

                                         (
                           H C = å U n B n* + U n*   B ),
                                                      n                    (7.57)
                                     n

ñîõðàíÿþòñÿ ñèñòåìîé ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà em . Òðåáîâàíèå ñî-
õðàíåíèÿ âåëè÷èíû
                       H B = å (- 1) n k n | Bn | 2 ,
                                          -1
                                                               (7.58)
                                     n



ñëóæàù åé àíàëîãîì ìàãíèòíîé ñïèðàëüíîñòè (7.53), ïðèâîäèò ê îäíîçíà÷-
íîìó îïðåäåëåíèþ îáîèõ ïàðàìåòðîâ: e = 1 / 2 , em = 1 / 3 . Îòìåòèì, ÷òî ïàðà-
ìåòð e ñîâïàäàåòïðè ýòîì ñî çíà÷åíèåì, ïîëó÷àåìûì â ìîäåëè òðåõìåðíîé
òóðáóëåíòíîñòè èç òðåáîâàíèÿ ñîõðàíåíèÿ ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñïèðàëüíî-
ñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïðèáëèæåíèè ñëàáûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé ñèñòåìà
(7.54)-(7.55) âíîâü ñîõðàíÿåòãèäðîäèíàìè÷åñêóþ ñïèðàëüíîñòü.
      Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äâóìåðíîé Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè íóæíî ïîòðåáî-
âàòü ñîõðàíåíèÿ âåëè÷èíû
                               a = å k n | Bn | 2
                                        -2
                                                                         (7.59)
                                             n



(êâàäðàòà âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà), ÷òî ïðèâîäèò ê ñëåäóþ ù èì çíà÷åíèÿì
ïàðàìåòðîâ: e = 5 / 4 , em = - 1 / 3 .
       Ì û ïðèâåäåì òîëüêî íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, êàñàþ ù èåñÿ ìîäåëèðî-
âàíèÿ ïîâåäåíèÿ ñâîáîäíî âûðîæäàþ ù åéñÿ Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè, õîòÿ
êàñêàäíàÿ ìîäåëü, î êîòîðîé èäåò ðå÷ü, äàëà íîâûå ðåçóëüòàòû è ïðè èñ-
ñëåäîâàíèè ïîâåäåíèÿ ñòàöèîíàðíî âîçáóæäàåìîé Ì ÃÄ-òóðáóëåíòíîñòè.
Ñâîáîäíîå âûðîæäåíèå ïîäðàçóìåâàåò ðàâåíñòâî íóëþ ñèë f n è g n â óðàâ-
íåíèÿõ (7.54)-(7.55) è ðåø åíèå çàäà÷è ñ çàäàííûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.
 êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ óñëîâèé ðàññìàòðèâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ïî
ñïåêòðó, ñîîòâåòñòâóþ ù åå ñïåêòðàëüíûì çàêîíàì âèäà EV ~ E B ~ k - 2 (äëÿ
âñåõ n ³ 0 ), óðîâåíü ìàãíèòíîé ýíåðãèè ñóù åñòâåííî íèæå ñîîòâåòñòâóþ ù å-
ãî óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ( EV » 1, E B » 0,0001 ). ×èñëî Ðåéíîëüäñà
Re = 10 7 , ìàãíèòíîå ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ Prm = 10 - 3 .
       Í à ðèñ.7.13 ïîêàçàí õàðàêòåð ýâîëþ öèè êèíåòè÷åñêîé (ïóíêòèðíàÿ
ëèíèÿ) è ìàãíèòíîé (òîíêàÿ ñïëîø íàÿ ëèíèÿ) ýíåðãèè â òðåõìåðíîé Ì ÃÄ-
òóðáóëåíòíîñòè (óðàâíåíèÿ ðåø àþ òñÿ äëÿ ñëó÷àÿ : e = 1 / 2 , em = 1 / 3 ). Âèäíî,
÷òî çà êîðîòêîå âðåìÿ (áåçðàçìåðíîå âðåìÿ, îïðåäåëåííîå ïî õàðàêòåðíîìó
âðåìåíè îáîðîòà ìàêðîñêîïè÷åñêîãî âèõðÿ L / U , ïîðÿäêà åäèíèöû) ìàã-
íèòíàÿ ýíåðãèÿ äîñòèãàåò óðîâíÿ ïîðÿäêà 1/10 îò óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîé

Страницы