Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

37
ðû ìîäåëè ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ýòè ïðåäåëüíûå ñòðóêòóðû èìåþò âèä âèõðå-
âûõ íèòåé ñ ðàçìåðíîñòüþ
1
=
D
.
Äâå îñòàâøèåñÿ ãèïîòåçû êàñàþòñÿ ñâîéñòâ îòíîñèòåëüíûõ ìîìåíòîâ
)(q
l
e . Ãèïîòåçà 2 ââîäèò óíèâåðñàëüíóþ ñâÿçü, ñâÿçûâàþùóþ ñòàðøèé ìî-
ìåíò ñ ìëàäøèì,
)1(
)()()1(
bb
eee
-
¥+
=
l
q
lq
q
l
A . (4.81)
Ñîîòíîøåíèå âêëþ÷àåò íåèçâåñòíûé ïîêà ïàðàìåòð
b
è ÿâëÿåòñÿ,
ïîæàëóé, ñàìûì ñèëüíûì ïðåäïîëîæåíèåì, ñäåëàííûì ïðè ïîñòðîåíèè
ìîäåëè. ßñíî, ÷òî ëþáàÿ ãèïîòåçà îòíîñèòåëüíî ñâÿçè ñòàòèñòè÷åñêèõ ìî-
ìåíòîâ ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêîâ åñòü, ïî ñóòè, ãèïîòåçà îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ìîìåíòû êîòîðîé ðàññìàòðèâàþòñÿ.
Çàáåãàÿ âïåðåä, ñêàæåì, ÷òî ãèïîòåçà (4.81) ïîäðàçóìåâàåò ëîãïóàññîíîâ-
ñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ (ýòîò ôàêò áûë îáíàðóæåí ïîçæå, íåçàâèñèìî
×.-Ç.Øå è Á.Äþáðþëü).
Òðåòüÿ ãèïîòåçà êàñàåòñÿ âåëè÷èíû
)(¥
l
e . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îíà
ïîä÷èíÿåòñÿ ñòåïåííîìó çàêîíó
3/2
)(
~
-
¥
l
l
e . (4.82)
Ôèçè÷åñêàÿ ìîòèâèðîâêà (4.82) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Êàê óêàçûâà-
ëîñü âûøå, âåëè÷èíà
)(¥
l
e çàâèñèò îò ïðåäåëüíûõ äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð è
èìååò ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè. Ñëåäîâàòåëüíî, èç ðàç-
ìåðíûõ ñîîáðàæåíèé
l
l
t
E
¥
¥
d
e ~
)(
,
ãäå
¥
Ed åñòü ïëîòíîñòü ýíåðãèè, äîñòóïíîé äèññèïàöèè â òåõ íèòåâèäíûõ
ñòðóêòóðàõ, î êîòîðûõ èäåò ðå÷ü. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî â ýòèõ äèññèïàòèâíûõ
ñòðóêòóðàõ èìååò ìåñòî êâàçèðàçðûâ, òî åñòü íåçàâèñèìî îò ìàñøòàáà
0
vv
l
dd » è ýíåðãèÿ íå çàâèñèò îò ìàñøòàáà l . Ìàñøòàá âðåìåíè ïðèíèìàåò-
ñÿ êîëìîãîðîâñêèì (
3/23/1
~ lt
l
-
e ), ÷òî ïðèâîäèò ê îöåíêå
3/2
)(
~
1
~
-
¥
l
t
l
l
e .
Íà îñíîâå ââåäåííûõ ãèïîòåç ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ñòðóê-
òóðíûõ ôóíêöèé ïîëÿ äèññèïàöèè, à çàòåì è ïîëÿ ñêîðîñòè. Èç òðåòüåé ãè-
ïîòåçû (4.82) ñëåäóåò, ÷òî ïðè
¥
®
q
3/2
1
)(
~~
1
-
+
+
><
><
= l
l
l
q
q
q
l
q
l
q
l
t
t
e
e
e
                                                                                              37



ðû ìîäåëè ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ýòè ïðåäåëüíûåñòðóêòóðû èìåþ ò âèä âèõðå-
âûõ íèòåé ñ ðàçìåðíîñòüþ D = 1 .
       Äâå îñòàâø èåñÿ ãèïîòåçû êàñàþòñÿ ñâîéñòâ îòíîñèòåëüíûõ ìîìåíòîâ
el . Ãèïîòåçà 2 ââîäèò óíèâåðñàëüíóþ ñâÿçü, ñâÿçûâàþ ù óþ ñòàðø èé ìî-
  (q )


ìåíò ñ ìëàäø èì,
                             ( q + 1)        (q) b ( ¥ ) (1- b )
                          el          = Aq el el                 . (4.81)

      Ñîîòíîø åíèå âêëþ÷àåò íåèçâåñòíûé ïîêà ïàðàìåòð b è ÿâëÿåòñÿ,
ïîæàëóé, ñàìûì ñèëüíûì ïðåäïîëîæåíèåì, ñäåëàííûì ïðè ïîñòðîåíèè
ìîäåëè. ßñíî, ÷òî ëþáàÿ ãèïîòåçà îòíîñèòåëüíî ñâÿçè ñòàòèñòè÷åñêèõ ìî-
ìåíòîâ ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêîâ åñòü, ïî ñóòè, ãèïîòåçà îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ìîìåíòû êîòîðîé ðàññìàòðèâàþòñÿ.
Çàáåãàÿ âïåðåä, ñêàæåì, ÷òî ãèïîòåçà (4.81) ïîäðàçóìåâàåò ëîãïóàññîíîâ-
ñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ (ýòîò ôàêò áûë îáíàðóæåí ïîçæå, íåçàâèñèìî
×.-Ç.Ø å è Á.Äþáðþëü).
      Òðåòüÿ ãèïîòåçà êàñàåòñÿ âåëè÷èíû el (¥ ) . Ï ðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îíà
ïîä÷èíÿåòñÿñòåïåííîìó çàêîíó
                               (¥ )
                             el ~ l - 2 / 3 .                        (4.82)

      Ô èçè÷åñêàÿ ìîòèâèðîâêà (4.82) ñîñòîèò â ñëåäóþ ù åì. Êàê óêàçûâà-
ëîñü âûøå, âåëè÷èíà el (¥ ) çàâèñèò îò ïðåäåëüíûõ äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóð è
èìååò ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè. Ñëåäîâàòåëüíî, èç ðàç-
ìåðíûõ ñîîáðàæåíèé
                                              (¥ )       dE ¥
                                         el          ~        ,
                                                          tl

ãäå dE ¥ åñòü ïëîòíîñòü ýíåðãèè, äîñòóïíîé äèññèïàöèè â òåõ íèòåâèäíûõ
ñòðóêòóðàõ, î êîòîðûõ èäåò ðå÷ü. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî â ýòèõ äèññèïàòèâíûõ
ñòðóêòóðàõ èìååò ìåñòî êâàçèðàçðûâ, òî åñòü íåçàâèñèìî îò ìàñø òàáà
dv l » dv 0 è ýíåðãèÿ íå çàâèñèò îò ìàñø òàáà l . Ì àñø òàá âðåìåíè ïðèíèìàåò-
ñÿêîëìîãîðîâñêèì ( t l ~ e - 1 / 3 l 2 / 3 ), ÷òî ïðèâîäèò ê îöåíêå

                                         (¥ )        1
                                   el           ~       ~ l - 2/3.
                                                     tl

     Í à îñíîâå ââåäåííûõ ãèïîòåç ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ñòðóê-
òóðíûõ ôóíêöèé ïîëÿ äèññèïàöèè, à çàòåì è ïîëÿ ñêîðîñòè. È ç òðåòüåé ãè-
ïîòåçû (4.82) ñëåäóåò, ÷òî ïðè q ® ¥
                                                       q+ 1               tq+ 1
                                                < el          >       l
                              el         =                                        ~ l - 2/3
                                   (q)
                                                                  ~        tq
                                                < el >
                                                         q
                                                                      l

Страницы