Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

35
Òàêèì îáðàçîì, àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ñïåêòðà
ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Èìåÿ èçìåðåíèÿ
i
x , ïî ôîðìóëå (4.75) âû÷èñëÿþò
ðàçìåðíîñòü )(qD äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé
q
(êàê ïîëîæèòåëüíûõ, òàê è
îòðèöàòåëüíûõ). Çàòåì ïî ôîðìóëå (4.78) îïðåäåëÿþò çíà÷åíèÿ )(
~
q
a
, îáåñ-
ïå÷èâàþùèå ìèíèìóì (4.72) äëÿ äàííîãî
q
. Ïîñëå ýòîãî ïî ôîðìóëå (4.77)
âû÷èñëÿþò ñïåêòð )(
a
f .
Òèïè÷íûé âèä ôóíêöèé )(qD è )(
a
f ïîêàçàí íà ðèñ.4.9. Ôóíêöèÿ )(qD
ïåðåñåêàåò îñü îðäèíàò â òî÷êå, äàþùåé ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà (òðè,
åñëè ðå÷ü èäåò îá îáû÷íîì òðåõìåðíîì ïîòîêå, ëèáî äâà, åñëè èññëåäóåòñÿ
äâóìåðíàÿ êàðòèíà). Íà ãðàôèêå )(
a
f òî÷êà ìàêñèìóìà ñîîòâåòñòâóåò ìî-
ìåíòó íóëåâîãî ïîðÿäêà ( 0)(
=
=
¢
qf
a
). Àáñöèññà ýòîé òî÷êè, îáîçíà÷åííàÿ
íà ðèñóíêå êàê
0
a , äàåò ñðåäíåå çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ñêåéëèíãà
a
. Íàèáîëåå
âåðîÿòíîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû
a
äàåò òî÷êà
1
a , îïðåäåëÿþùàÿ òî÷êó êðè-
âîé, â êîòîðîé 1
=
¢
=
fq .
4.6. Ëîãïóàññîíîâñêèå ìîäåëè
 ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì ìîäåëè ïîñëåäíåãî ïîêîëåíèÿ, âîç-
íèêøèå â ñåðåäèíå 90-õ ãîäîâ. Ïåðâîé îïèñàíà ìîäåëü, ïðåäëîæåííàÿ Øå è
Ëåâåêîì â 1994 ãîäó
4
. Îñíîâàííàÿ íà òðåõ ãèïîòåçàõ, èç êîòîðûõ äâå êàçà-
ëèñü íå î÷åíü óáåäèòåëüíûìè, ìîäåëü äàëà ïðîñòóþ ôîðìóëó äëÿ çàâèñè-
ìîñòè
q
V . Ïî ñ÷àñòëèâîìó ñòå÷åíèþ îáñòîÿòåëüñòâ, â ýòî æå âðåìÿ ãðóïïîé
èòàëüÿíñêèõ è ôðàíöóçñêèõ èññëåäîâàòåëåé ýêñïåðèìåíòàëüíî áûë îáíà-
ðóæåí ëþáîïûòíûé ôàêò, ïîëó÷èâøèé íàçâàíèå ðàñøèðåííîé àâòîìîäåëü-
íîñòè, êîòîðûé ïîçâîëèë ñóùåñòâåííî ïîâûñèòü òî÷íîñòü ýêñïåðèìåíòàëü-
íîãî îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëåé
q
V äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé âûñîêèõ ïî-
ðÿäêîâ. Íîâûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû óäèâèòåëüíî õîðîøî ñîâïà-
ëè ñ ôîðìóëîé Øå - Ëåâåêà. Ñóùåñòâåííîå îáîáùåíèå ýòîé ìîäåëè áûëî
ñäåëàíî Á.Äþáðþëü
5
, êîòîðàÿ âêëþ÷èëà â ìîäåëü è èäåþ ðàñøèðåííîé àâ-
òîìîäåëüíîñòè. Ðàñøèðåííîé àâòîìîäåëüíîñòè ïîñâÿùåí âòîðîé ïàðàãðàô
ðàçäåëà. Ìîäåëü Äþáðþëü îïèñàíà â ïîñëåäíåì ïàðàãðàôå ýòîãî ðàçäåëà.
4
She Z.S., Leveque E. Universal scaling laws in fully developed turbulence // Physical Review Letters, 1994.
Vol.72. P.336-339.
5
Dubrulle B. Intermittency in fully developed turbulence: log-Poisson statistics and generalized scale covariance
// Physical Review Letters, 1994. Vol.73. P.959-962.
                                                                                                                 35




      Òàêèì îáðàçîì, àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ìóëüòèôðàêòàëüíîãî ñïåêòðà
ñîñòîèò â ñëåäóþ ù åì. È ìåÿ èçìåðåíèÿ xi , ïî ôîðìóëå (4.75) âû÷èñëÿþ ò
ðàçìåðíîñòü D(q ) äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé q (êàê ïîëîæèòåëüíûõ, òàê è
îòðèöàòåëüíûõ). Çàòåì ïî ôîðìóëå (4.78) îïðåäåëÿþ ò çíà÷åíèÿ a~ (q ) , îáåñ-
ïå÷èâàþ ù èå ìèíèìóì (4.72) äëÿ äàííîãî q . Ï îñëå ýòîãî ïî ôîðìóëå (4.77)
âû÷èñëÿþ òñïåêòð f (a ) .
      Òèïè÷íûé âèä ôóíêöèé D(q ) è f (a ) ïîêàçàí íà ðèñ.4.9. Ô óíêöèÿ D(q )
ïåðåñåêàåò îñü îðäèíàò â òî÷êå, äàþ ù åé ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà (òðè,
åñëè ðå÷ü èäåò îá îáû÷íîì òðåõìåðíîì ïîòîêå, ëèáî äâà, åñëè èññëåäóåòñÿ
äâóìåðíàÿ êàðòèíà). Í à ãðàôèêå f (a ) òî÷êà ìàêñèìóìà ñîîòâåòñòâóåò ìî-
ìåíòó íóëåâîãî ïîðÿäêà ( f ¢(a ) = q = 0 ). Àáñöèññà ýòîé òî÷êè, îáîçíà÷åííàÿ
íà ðèñóíêå êàê a 0 , äàåòñðåäíåå çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ñêåéëèíãà a . Í àèáîëåå
âåðîÿòíîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû a äàåò òî÷êà a 1 , îïðåäåëÿþ ù àÿ òî÷êó êðè-
âîé, â êîòîðîé q = f ¢= 1 .



4.6. Ëîãïóàññîíîâñêèå ìîäåëè

     Â ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì ìîäåëè ïîñëåäíåãî ïîêîëåíèÿ, âîç-
íèêø èå â ñåðåäèíå 90-õ ãîäîâ. Ï åðâîé îïèñàíà ìîäåëü, ïðåäëîæåííàÿ Ø å è
Ëåâåêîì â 1994 ãîäó 4. Îñíîâàííàÿ íà òðåõ ãèïîòåçàõ, èç êîòîðûõ äâå êàçà-
ëèñü íå î÷åíü óáåäèòåëüíûìè, ìîäåëü äàëà ïðîñòóþ ôîðìóëó äëÿ çàâèñè-
ìîñòè Vq . Ï î ñ÷àñòëèâîìó ñòå÷åíèþ îáñòîÿòåëüñòâ, â ýòî æå âðåìÿ ãðóïïîé
èòàëüÿíñêèõ è ôðàíöóçñêèõ èññëåäîâàòåëåé ýêñïåðèìåíòàëüíî áûë îáíà-
ðóæåí ëþáîïûòíûé ôàêò, ïîëó÷èâø èé íàçâàíèå ðàñø èðåííîé àâòîìîäåëü-
íîñòè, êîòîðûé ïîçâîëèë ñóù åñòâåííî ïîâûñèòü òî÷íîñòü ýêñïåðèìåíòàëü-
íîãî îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëåé Vq äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé âûñîêèõ ïî-
ðÿäêîâ. Í îâûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû óäèâèòåëüíî õîðîø î ñîâïà-
ëè ñ ôîðìóëîé Ø å - Ëåâåêà. Ñóù åñòâåííîå îáîáù åíèå ýòîé ìîäåëè áûëî
ñäåëàíî Á.Äþáðþëü5, êîòîðàÿ âêëþ ÷èëà â ìîäåëü è èäåþ ðàñø èðåííîé àâ-
òîìîäåëüíîñòè. Ðàñø èðåííîé àâòîìîäåëüíîñòè ïîñâÿù åí âòîðîé ïàðàãðàô
ðàçäåëà. Ì îäåëü Äþáðþ ëü îïèñàíà â ïîñëåäíåì ïàðàãðàôåýòîãî ðàçäåëà.




4
  She Z.S., Leveque E. Universal scaling laws in fully developed turbulence // Physical Review Letters, 1994.
Vol.72. P.336-339.
5
  Dubrulle B. Intermittency in fully developed turbulence: log-Poisson statistics and generalized scale covariance
// Physical Review Letters, 1994. Vol.73. P.959-962.

Страницы