Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

46
5.1. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è èíåðöèîííûå èíòåðâàëû
Ñíîâà âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèÿì Íàâüå - Ñòîêñà è îñòàíîâèìñÿ íà âî-
ïðîñå îá èíòåãðàëàõ äâèæåíèÿ, òî åñòü âåëè÷èíàõ, ñîõðàíÿåìûõ óðàâíå-
íèÿìè ïðè íåâÿçêîé ýâîëþöèè. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàïèøåì â ïåðåìåí-
íûõ Ëàãðàíæà
vpvd
t
r
r
r
D+Ñ-=
-
nr
1
, (5.1)
óìíîæèì íà ñêîðîñòü è ïðîèíòåãðèðóåì ïî îáúåìó V , âêëþ÷àþùåìó
âñþ äâèæóùóþñÿ æèäêîñòü
òòò
D+Ñ-=
-
VVV
t
dVvvdVvpdV
v
d
rrr
r
nr
1
2
2
. (5.2)
Ïåðâûé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (5.2) ðàâåí íóëþ. Äåéñò-
âèòåëüíî,
(
)
(
)
ò òò òò
==Ñ=Ñ-Ñ=Ñ
V SV VV
SdvpdVvpdVvpdVvpdVvp .0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà èñïîëüçîâàíî óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè è
òåîðåìà Ãàóññà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé îò èíòåãðàëà ïî îáúåìó ïåðåøëè ê èí-
òåãðàëó ïî ïîâåðõíîñòè. Ïîâåðõíîñòü âûáèðàåòñÿ òàêîé, ÷òî îíà îõâàòûâà-
åò âåñü îáúåì, çàíÿòûé äâèæóùåéñÿ æèäêîñòüþ, è ñêîðîñòü â ëþáîé òî÷êå
ýòîé ïîâåðõíîñòè ðàâíà íóëþ.
Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (5.2) ïðåîáðàçóåì, èñïîëüçóÿ äâå ôîðìóëû
âåêòîðíîãî àíàëèçà,
(
)
(
)
AAA
r
r
r
r
r
r
r
D-ÑÑ=´Ñ´Ñ , (5.3)
(
)
(
)
(
)
BAABBA
r
r
r
r
r
r
r
r
r
´Ñ-´Ñ=´Ñ , (5.4)
è ïîëó÷èì
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
.rotrotrot
22
òòò
ò òòò
-=-´=
=´Ñ´Ñ-´Ñ´Ñ=´Ñ´Ñ-=D
VVS
V VVV
dVvdVvSdvv
dVvvdVvvdVvvdVvv
rr
r
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
v
r
r
r
r
r
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå
v
r
r
rot
=
w
(5.5)
(íàïîìíèì, ÷òî
w
r
íàçûâàåòñÿ çàâèõðåííîñòüþ), ïðèõîäèì ê óðàâíå-
íèþ äëÿ ýâîëþöèè îáùåé ýíåðãèè äâèæåíèÿ æèäêîñòè
46




5.1. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è èíåðöèîííûå èíòåðâàëû
     Ñíîâà âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèÿì Í àâüå - Ñòîêñà è îñòàíîâèìñÿ íà âî-
ïðîñå îá èíòåãðàëàõ äâèæåíèÿ, òî åñòü âåëè÷èíàõ, ñîõðàíÿåìûõ óðàâíå-
íèÿìè ïðè íåâÿçêîé ýâîëþ öèè. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàïèø åì â ïåðåìåí-
íûõ Ëàãðàíæà
                                   r          r       r
                               d t v = - r - 1Ñ p + nDv ,                                            (5.1)

     óìíîæèì íà ñêîðîñòü è ïðîèíòåãðèðóåì ïî îáúåìó V , âêëþ ÷àþ ù åìó
âñþ äâèæóù óþ ñÿæèäêîñòü
                                     v2             r r          r r
                               d t ò dV = - r - 1 òÑ pv dV + n òv Dv dV .                            (5.2)
                                   V
                                     2            V            V



     Ï åðâûé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (5.2) ðàâåí íóëþ . Äåéñò-
âèòåëüíî,
                     r r           r   r             rr            r    r            r r
                 òÑ pv dV = òÑ ( pv )dV - òpÑ v dV =òÑ ( pv )dV = òpv dS = 0.
                 V             V                 V             V                 S



      Ï ðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà èñïîëüçîâàíî óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè è
òåîðåìà Ãàóññà, ñ ïîìîù üþ êîòîðîé îò èíòåãðàëà ïî îáúåìó ïåðåø ëè ê èí-
òåãðàëó ïî ïîâåðõíîñòè. Ï îâåðõíîñòü âûáèðàåòñÿ òàêîé, ÷òî îíà îõâàòûâà-
åò âåñü îáúåì, çàíÿòûé äâèæóù åéñÿ æèäêîñòüþ , è ñêîðîñòü â ëþáîé òî÷êå
ýòîé ïîâåðõíîñòè ðàâíà íóëþ.
      Ï îñëåäíåå ñëàãàåìîå â (5.2) ïðåîáðàçóåì, èñïîëüçóÿ äâå ôîðìóëû
âåêòîðíîãî àíàëèçà,
                         Ñ ´ (Ñ ´ A )= Ñ (Ñ A )- DA ,
                          r r r r rr              r
                                                                    (5.3)

                                   (       ) (
                               r r r rr r rr r
                                                         ) (
                               Ñ A´ B = B Ñ ´ A - A Ñ ´ B ,             )                            (5.4)
     è ïîëó÷èì
                               ( (
                           rr r v
                                            ))           ( (           ))    ò(Ñ ´ v )(Ñ ´ v )dV =
             r r                             rr r r                              r r   r   r
            ò
            V
             v D v dV = - òv
                           V
                             Ñ ´ Ñ ´ v dV = ò v ´ Ñ ´ v dV -
                                             Ñ
                                                     V                       V
                          r       r r              r2                    r2
                      = ò(v ´ rot v )dS -    ò(rot v ) dV = -      ò(rot v ) dV .
                           S                 V                     V



     Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå
                                           r       r
                                           w = rot v                                                 (5.5)
                           r
     (íàïîìíèì, ÷òî w íàçûâàåòñÿ çàâèõðåííîñòüþ ), ïðèõîäèì ê óðàâíå-
íèþ äëÿ ýâîëþ öèè îáù åé ýíåðãèè äâèæåíèÿ æèäêîñòè

Страницы