Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

48
ò
=
V
dVvH w
rr
2
1
. (5.9)
 îòëè÷èå îò ýíåðãèè è ýíñòðîôèè, ñïèðàëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæè-
òåëüíî îïðåäåëåííîé âåëè÷èíîé. Îíà ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîñêàëÿðîì (ìåíÿåò
çíàê ïðè ïåðåõîäå îò ïðàâîâèíòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê ëåâîâèíòîâîé) è
îòëè÷íà îò íóëÿ â ñëó÷àå, åñëè â òå÷åíèè ñóùåñòâóþò ñïèðàëüíûå âèõðè è
êîëè÷åñòâî ñïèðàëåé ñ ïðàâîé çàêðóòêîé áîëüøå (ìåíüøå), ÷åì ëåâîé. Ýòà
âåëè÷èíà ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííîé òîëüêî â íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ òå÷å-
íèÿõ, êàê ïðàâèëî, àíèçîòðîïíûõ. Ê òàêèì òå÷åíèÿì îòíîñÿòñÿ ìíîãèå ãåî-
è àñòðîôèçè÷åñêèå òå÷åíèÿ. Îñîáåííî âàæíóþ ðîëü èãðàåò ñïèðàëüíîñòü â
çàäà÷àõ âîçáóæäåíèÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé â òå÷åíèÿõ ïðîâîäÿùåé æèäêîñòè
(ïðîáëåìà ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî äèíàìî).
Çàïèøåì óðàâíåíèå äëÿ çàâèõðåííîñòè, äëÿ ÷åãî íà óðàâíåíèå (5.1)
íåîáõîäèìî ïîäåéñòâîâàòü îïåðàòîðîì rot ,
wnwww
r
r
r
r
r
r
r
r
D+Ñ-=Ñ+ vv
t
)()( (5.10)
è ðàññìîòðèì âîïðîñ îá èíòåãðàëàõ äâèæåíèÿ ïðè äâóìåðíîì äâèæå-
íèè æèäêîñòè. Äâóìåðíîñòü äâèæåíèÿ ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî âåêòîð ñêîðîñòè
èìååò òîëüêî äâå îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû )0,,(
yx
vvv =
r
, à çàâèõðåí-
íîñòü - òîëüêî îäíó ),0,0(
w
w
=
r
, ñòàíîâÿñü, òàêèì îáðàçîì, ïñåâäîñêàëÿðíîé
âåëè÷èíîé.
Óðàâíåíèå (5.10) ïðèíèìàåò â ýòîì ñëó÷àå ÷ðåçâû÷àéíî ïðîñòîé âèä
wnww D=Ñ+ )(
r
r
v
t
, (5.11)
ñîâïàäàÿ ñ óðàâíåíèåì ïåðåíîñà ñêàëÿðíîé ïðèìåñè. Íà ñõîäñòâå è
ðàçëè÷èè óðàâíåíèÿ äëÿ çàâèõðåííîñòè è óðàâíåíèÿ äëÿ ïàññèâíîé ïðèìåñè
ìû îñòàíîâèìñÿ áîëåå ïîäðîáíî íèæå, à ñåé÷àñ çàïèøåì (5.11) â ïåðåìåí-
íûõ Ëàãðàíæà
wnw D=
t
d . (5.12)
Èç (5.12) î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò, ÷òî ïðè 0
®
n
æèäêàÿ ÷àñòèöà
ïåðåíîñèò çàâèõðåííîñòü áåç èçìåíåíèé, à ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ ôóíêöèÿ
)(
w
f ñòàíîâèòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, äâóìåðíûé ïîòîê â
íåâÿçêîì ïðåäåëå îáëàäàåò áåñêîíå÷íûì íàáîðîì èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ.
Ñðåäè ýòèõ èíòåãðàëîâ îñîáîå ìåñòî çàíèìàåò ýíñòðîôèÿ (5.7), êîòîðàÿ, êàê
è ýíåðãèÿ, îñòàåòñÿ ñîõðàíÿþùåéñÿ âåëè÷èíîé è ïðè êîíå÷íîìåðíîì ïðåä-
ñòàâëåíèè ïîëåé ñêîðîñòè è çàâèõðåííîñòè (ïðè îáðûâå ðÿäîâ Ôóðüå, åñëè
ãîâîðèòü î ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëåé).
Çàïèøåì óðàâíåíèå äëÿ ýâîëþöèè ýíñòðîôèè ïðè äâóìåðíîì òå÷åíèè
48


                                       1 rr
                                       2 Vò
                                  H=       v w dV .                     (5.9)


       îòëè÷èå îò ýíåðãèè è ýíñòðîôèè, ñïèðàëüíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæè-
òåëüíî îïðåäåëåííîé âåëè÷èíîé. Îíà ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîñêàëÿðîì (ìåíÿåò
çíàê ïðè ïåðåõîäå îò ïðàâîâèíòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê ëåâîâèíòîâîé) è
îòëè÷íà îò íóëÿ â ñëó÷àå, åñëè â òå÷åíèè ñóù åñòâóþ ò ñïèðàëüíûå âèõðè è
êîëè÷åñòâî ñïèðàëåé ñ ïðàâîé çàêðóòêîé áîëüø å (ìåíüø å), ÷åì ëåâîé. Ýòà
âåëè÷èíà ñòàíîâèòñÿ ñóù åñòâåííîé òîëüêî â íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ òå÷å-
íèÿõ, êàê ïðàâèëî, àíèçîòðîïíûõ. Ê òàêèì òå÷åíèÿì îòíîñÿòñÿ ìíîãèå ãåî-
è àñòðîôèçè÷åñêèå òå÷åíèÿ. Îñîáåííî âàæíóþ ðîëü èãðàåò ñïèðàëüíîñòü â
çàäà÷àõ âîçáóæäåíèÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé â òå÷åíèÿõ ïðîâîäÿù åé æèäêîñòè
(ïðîáëåìà ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêîãî äèíàìî).
      Çàïèø åì óðàâíåíèå äëÿ çàâèõðåííîñòè, äëÿ ÷åãî íà óðàâíåíèå (5.1)
íåîáõîäèìî ïîäåéñòâîâàòü îïåðàòîðîì rot ,
                            r rr r           rr r       r
                         ¶t w + (v Ñ )w = - (w Ñ )v + nDw              (5.10)

     è ðàññìîòðèì âîïðîñ îá èíòåãðàëàõ äâèæåíèÿ ïðè äâóìåðíîì äâèæå-
íèè æèäêîñòè. Äâóìåðíîñòü äâèæåíèÿ ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî âåêòîð ñêîðîñòè
                                                        r
èìååò òîëüêî äâå îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû v = (v x , v y ,0) , à çàâèõðåí-
                    r
íîñòü - òîëüêî îäíó w = (0,0, w ) , ñòàíîâÿñü, òàêèì îáðàçîì, ïñåâäîñêàëÿðíîé
âåëè÷èíîé.
     Óðàâíåíèå (5.10) ïðèíèìàåò â ýòîì ñëó÷àå ÷ðåçâû÷àéíî ïðîñòîé âèä
                                        rr
                                ¶t w + (v Ñ )w = nDw ,                 (5.11)

     ñîâïàäàÿ ñ óðàâíåíèåì ïåðåíîñà ñêàëÿðíîé ïðèìåñè. Í à ñõîäñòâå è
ðàçëè÷èè óðàâíåíèÿ äëÿ çàâèõðåííîñòè è óðàâíåíèÿ äëÿ ïàññèâíîé ïðèìåñè
ìû îñòàíîâèìñÿ áîëåå ïîäðîáíî íèæå, à ñåé÷àñ çàïèø åì (5.11) â ïåðåìåí-
íûõ Ëàãðàíæà

                                d t w = nDw .                          (5.12)

        È ç (5.12) î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò, ÷òî ïðè n ® 0 æèäêàÿ ÷àñòèöà
ïåðåíîñèò çàâèõðåííîñòü áåç èçìåíåíèé, à ñëåäîâàòåëüíî, ëþ áàÿ ôóíêöèÿ
 f (w ) ñòàíîâèòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, äâóìåðíûé ïîòîê â
íåâÿçêîì ïðåäåëå îáëàäàåò áåñêîíå÷íûì íàáîðîì èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ.
Ñðåäè ýòèõ èíòåãðàëîâ îñîáîå ìåñòî çàíèìàåò ýíñòðîôèÿ (5.7), êîòîðàÿ, êàê
è ýíåðãèÿ, îñòàåòñÿ ñîõðàíÿþ ù åéñÿ âåëè÷èíîé è ïðè êîíå÷íîìåðíîì ïðåä-
ñòàâëåíèè ïîëåé ñêîðîñòè è çàâèõðåííîñòè (ïðè îáðûâå ðÿäîâ Ô óðüå, åñëè
ãîâîðèòü î ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëåé).
        Çàïèø åì óðàâíåíèå äëÿ ýâîëþ öèè ýíñòðîôèè ïðè äâóìåðíîì òå÷åíèè

Страницы