Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

47
ò
W-=-=
V
t
dVÅd nwn 2||
2
r
, (5.6)
ãäå âåëè÷èíà
ò
=W
V
dV
2
||
2
1
w
r
, (5.7)
ðàâíàÿ èíòåãðàëó îò êâàäðàòà çàâèõðåííîñòè ïî âñåìó îáúåìó, íàçû-
âàåòñÿ ýíñòðîôèåé.
Ñâîáîäíàÿ ýâîëþöèÿ òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ñîïðîâîæäàåòñÿ,
êàê ìû âûÿñíèëè âûøå, ïåðåíîñîì ýíåðãèè ê ìàëûì ìàñøòàáàì. Â òåðìè-
íàõ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè )(kE ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåíîñó ýíåð-
ãèè ê áîëüøèì âîëíîâûì ÷èñëàì. Äëÿ ýíñòðîôèè òàêæå ìîæíî ââåñòè
ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü )(k
W
, ïðè÷åì â ñèëó (5.5) îíà ñâÿçàíà ñî ñïåê-
òðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ïðîñòûì ñîîòíîøåíèåì
)(~)(
2
kEkkW , (5.8)
èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ïåðåíîñ
ýíåðãèè ê áîëüøèì âîëíîâûì ÷èñëàì
(ìàëûì ìàñøòàáàì) âëå÷åò çà ñîáîé
ðîñò ýíñòðîôèè. Ðîñò ýíñòðîôèè, â
ñâîþ î÷åðåäü, ñîãëàñíî (5.6) ïðèâîäèò
ê ðîñòó ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè
( Ed
t
ºe ). Ýòè ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò ê
ñëåäóþùåé êà÷åñòâåííîé êàðòèíå äëÿ
ýâîëþöèè ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåð-
ãèè â òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè
(ðèñ.5.1): íà ðàííèõ ýòàïàõ ïðîèñõîäèò
óâåëè÷åíèå ñêîðîñòè äèññèïàöèè ñ ïî-
ñëåäóþùèì åå óáûâàíèåì. Èçìåíåíèå
e
íîñèò ïðè ýòîì êðàéíå íåðåãóëÿðíûé
õàðàêòåð, èçîáèëóÿ êðàòêîâðåìåííûìè âñïëåñêàìè è ïðîâàëàìè.
Êà÷åñòâåííî ïðîöåññû ïåðåäà÷è ýíåðãèè ê ìàëûì ìàñøòàáàì ñ îäíî-
âðåìåííûì ðîñòîì çàâèõðåííîñòè îïèñûâàþòñÿ òàê íàçûâàåìûì «ìåõà-
íèçìîì ðàñòÿæåíèÿ âèõðåâûõ òðóáîê». Ýòîò ìåõàíèçì ñîñòîèò â ñëåäóþ-
ùåì. Âèõðü, ïîïàäàÿ â çîíó äåôîðìàöèè âèõðÿ áîëüøåãî ìàñøòàáà, ðàñòÿ-
ãèâàåòñÿ è ðàñêðó÷èâàåòñÿ â ñèëó äåéñòâèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èì-
ïóëüñà. Ïðè ýòîì äåôîðìèðóþòñÿ âèõðè, îðèåíòèðîâàííûå ïåðïåíäèêó-
ëÿðíî áîëüøîìó âèõðþ, òî åñòü ìåõàíèçì èìååò ïðèíöèïèàëüíî òðåõìåð-
íóþ ïðèðîäó.
Îòìåòèì, ÷òî òðåõìåðíûå óðàâíåíèÿ Íàâüå - Ñòîêñà èìåþò åùå îäèí
èíòåãðàë äâèæåíèÿ.  íåâÿçêîì ïðåäåëå ñîõðàíÿþùåéñÿ âåëè÷èíîé ÿâëÿåò-
ñÿ ñïèðàëüíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ êàê
Ðèñ.5.1
                                                                         47


                                         r
                          d t Å = - n ò| w | 2 dV = - 2nW ,           (5.6)
                                    V



     ãäå âåëè÷èíà
                               1 r 2
                               2 Vò
                          W=       | w | dV ,                         (5.7)


     ðàâíàÿ èíòåãðàëó îò êâàäðàòà çàâèõðåííîñòè ïî âñåìó îáúåìó, íàçû-
âàåòñÿýíñòðîôèåé.
     Ñâîáîäíàÿ ýâîëþ öèÿ òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè ñîïðîâîæäàåòñÿ,
êàê ìû âûÿñíèëè âûøå, ïåðåíîñîì ýíåðãèè ê ìàëûì ìàñø òàáàì. Â òåðìè-
íàõ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè E (k ) ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïåðåíîñó ýíåð-
ãèè ê áîëüø èì âîëíîâûì ÷èñëàì. Äëÿ ýíñòðîôèè òàêæå ìîæíî ââåñòè
ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü W (k ) , ïðè÷åì â ñèëó (5.5) îíà ñâÿçàíà ñî ñïåê-
òðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ïðîñòûì ñîîòíîø åíèåì
                                W (k ) ~ k 2 E (k ) ,                 (5.8)

          èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ïåðåíîñ
ýíåðãèè ê áîëüø èì âîëíîâûì ÷èñëàì
(ìàëûì ìàñø òàáàì) âëå÷åò çà ñîáîé
ðîñò ýíñòðîôèè. Ðîñò ýíñòðîôèè, â
ñâîþ î÷åðåäü, ñîãëàñíî (5.6) ïðèâîäèò
ê ðîñòó ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåðãèè
( e º d t E ). Ýòè ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò ê
ñëåäóþ ù åé êà÷åñòâåííîé êàðòèíå äëÿ
ýâîëþ öèè ñêîðîñòè äèññèïàöèè ýíåð-
ãèè â òðåõìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè
(ðèñ.5.1): íà ðàííèõ ýòàïàõ ïðîèñõîäèò
óâåëè÷åíèå ñêîðîñòè äèññèïàöèè ñ ïî-
                                                        Ðèñ.5.1
ñëåäóþ ù èì åå óáûâàíèåì. È çìåíåíèå
e íîñèò ïðè ýòîì êðàéíå íåðåãóëÿðíûé
õàðàêòåð, èçîáèëóÿ êðàòêîâðåìåííûìè âñïëåñêàìè è ïðîâàëàìè.
          Êà÷åñòâåííî ïðîöåññû ïåðåäà÷è ýíåðãèè ê ìàëûì ìàñø òàáàì ñ îäíî-
âðåìåííûì ðîñòîì çàâèõðåííîñòè îïèñûâàþòñÿ òàê íàçûâàåìûì «ìåõà-
íèçìîì ðàñòÿæåíèÿ âèõðåâûõ òðóáîê». Ýòîò ìåõàíèçì ñîñòîèò â ñëåäóþ -
ù åì. Âèõðü, ïîïàäàÿ â çîíó äåôîðìàöèè âèõðÿ áîëüø åãî ìàñø òàáà, ðàñòÿ-
ãèâàåòñÿ è ðàñêðó÷èâàåòñÿ â ñèëó äåéñòâèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èì-
ïóëüñà. Ï ðè ýòîì äåôîðìèðóþòñÿ âèõðè, îðèåíòèðîâàííûå ïåðïåíäèêó-
ëÿðíî áîëüø îìó âèõðþ , òî åñòü ìåõàíèçì èìååò ïðèíöèïèàëüíî òðåõìåð-
íóþ ïðèðîäó.
          Îòìåòèì, ÷òî òðåõìåðíûå óðàâíåíèÿ Í àâüå - Ñòîêñà èìåþò åù å îäèí
èíòåãðàë äâèæåíèÿ.  íåâÿçêîì ïðåäåëå ñîõðàíÿþ ù åéñÿ âåëè÷èíîé ÿâëÿåò-
ñÿñïèðàëüíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ êàê

Страницы