Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть II. Фрик П.Г. - 52 стр.

52



ýòèõ îïûòàõ óäàëîñü ïîêàçàòü íàëè÷èå îáðàòíîãî êàñêàäà ýíåðãèè (òî÷íåå
ãîâîðÿ, áûë çàôèêñèðîâàí ðîñòñðåäíåãî ðàçìåðà âèõðÿ ñî âðåìåíåì).
         Í àèáîëåå óäà÷íûì ýêñïåðèìåíòîì ïî äâóìåðíîé òóðáóëåíòíîñòè îñ-
òàåòñÿ ðàáîòà Ñîììåðèà7, êîòîðóþ ìû ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî. Â ýòîé
ðàáîòå èññëåäîâàëñÿ îáðàòíûé êàñêàä ýíåðãèè â ïëîñêîì òå÷åíèè â òîíêîì
ñëîå ðòóòè, âîçáóæäàåìîì ýëåêòðîìàãíèòíûìè ñèëàìè íà ìàëûõ ìàñø òà-
áàõ. Ñõåìà ýêñïåðèìåíòà ïîêàçàíà íà ðèñ.5.4. Í à ïëîñêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ
êþ âåòó ðàçìåðàìè 120õ120õ22ìì, çàïîëíåííóþ ðòóòüþ , íàêëàäûâàëîñü
                                               âåðòèêàëüíîå ìàãíèòíîå ïîëå, äîñòèãàâ-
                                               ø åå âåëè÷èíû 1 Òë. Òàêîå ñèëüíîå ìàã-
                                               íèòíîå ïîëå ïðàêòè÷åñêè ïîäàâëÿåò âåðòè-
                                               êàëüíûå äâèæåíèÿ è ïðèâîäèò ê ôîðìèðî-
                                               âàíèþ ãîðèçîíòàëüíîãî òå÷åíèÿ ñ âåðòè-
                                               êàëüíûì ïðîôèëåì, îïèñûâàåìûì èçâåñò-
                                               íûì ðåø åíèåì Ãàðòìàíà. Ãàðòìàíîâñêèé
                                               ïðîôèëü õàðàêòåðèçóåòñÿ íàëè÷èåì ÿäðà ñ
                                               îäíîðîäíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñêîðîñòè è
                                               óçêèì ïîãðàíè÷íûì ñëîåì, òîëù èíà êîòî-
                                               ðîãî òåì ìåíüø å, ÷åì ñèëüíåå íàëîæåííîå
                    Ðèñ.5.5                    ìàãíèòíîå ïîëå. Ï ðåäïîëàãàåìûé ïðî-
                                               ôèëü ñêîðîñòè òàêæå èçîáðàæåí íà ðèñ.5.4.
         Äëÿ îïèñàíèÿ ïëîñêèõ òå÷åíèé â òîíêèõ ñëîÿõ æèäêîñòè ñóù åñòâóåò
ïðîñòîé, íî ýôôåêòèâíûé ñïîñîá, ñîñòîÿù èé â òîì, ÷òî ïîëå ñêîðîñòè
r
v = (v x , v y ,0) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
                                r                r
                                v ( x, y , z ) = v ( x, y ) f ( z ) ,             (5.18)

ãäå ôóíêöèÿ f (z ) îïèñûâàåò ñòðóêòóðó ïðîôèëÿ ïîïåðåê ñëîÿ ( â íàø åì
ñëó÷àå ýòî ðåø åíèå Ãàðòìàíà). Âûðàæåíèå (5.18) ïîäñòàâëÿåòñÿ â òðåõìåð-
íûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, êîòîðûå èíòåãðèðóþòñÿ çàòåì ïîïåðåê ñëîÿ

              rh
                             ( )
                              r r rh                       rh            rh               rh
           ¶t v òf ( z )d z + v Ñ v òf 2 ( z )d z = - r - 1Ñ òpdz + nD ^ v òf ( z )d z + nv òf ¢¢( z )d z .
               0                    0                       0               0                0



Îïåðàòîð Ëàïëàñà ïðåäñòàâëåí â âèäå D = D ^ + ¶zz , ãäå D ^ = ¶xx + ¶ yy . Ï îëó÷à-
åòñÿäâóìåðíîå óðàâíåíèå

                                        ( )
                                       rr r
                                 r                    r          r    r
                              ¶t v + a v Ñ v = - r - 1Ñ p + nD ^ v - mv ,                                     (5.19)

â êîòîðîì êîýôôèöèåíòû a è m çàâèñÿò îò êîíêðåòíîãî ïðîôèëÿ òå÷åíèÿ â
ñëîå. Óðàâíåíèå (5.19) íàçûâàþ ò ÷àñòî óðàâíåíèåì ñ ëèíåéíûì òðåíèåì.

7
 Sommeria J. Experimental study of the two-dimensional inverse energy cascade in a square box // J.Fluid Me-
chanics. 1986. Vol.170. P.139-168.