Функции многих переменных. - 1 стр.

                          ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ


  Мы определяли функцию одного вещественного аргумента как отображение f : D → R некото-
рого подмножества D ⊂ R действительных чисел в действительные числа. Аналогичное опреде-
ление можно дать и в случае нескольких аргументов:
  Определение 1. Пусть D ⊂ Rn — подмножество множества n-мерного арифметического про-
странства. Отображение f : D → R называется функцией n вещественных аргументов (x1 , . . . , xn ).
При этом множество D называется областью определения функции f , а множество
                                        V = { u ∈ Rn | u = f (x) }
— областью допустимых значений. Графиком функции u = f (x) называется множество
                           { (x1 , . . . , xn , u) | u = f (x1 , . . . , xn ) } ⊂ Rn+1 .
  Это определение, однако, является слишком общим, широким, и в следующем параграфе мы
уточним, какие области определения допускаются нами к рассмотрению. Чтобы это сделать, нам
понадобятся элементарные сведения из топологии пространств Rn .


  1. Непрерывность
  Зафиксируем некоторое число n ∈ N и рассмотрим пространство Rn .
  Определение 2. Расстоянием между точками x = (x1 , . . . , xn ) и y = (y1 , . . . , yn ) простран-
ства Rn называется величина
                                      p
                         ρ = ρ(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 .
Открытым шаром размерности n, радиуса r > 0 и с центром в точке x ∈ Rn называется множе-
ство
                        B n (x, r) = { y ∈ Rn | ρ(x, y) < r } ⊂ Rn .
Замкнутым шаром размерности n, радиуса r > 0 и с центром в точке x ∈ Rn называется множе-
ство
                        B̄ n (x, r) = { y ∈ Rn | ρ(x, y) 6 r } ⊂ Rn .
  Пример 1. Рассмотрим простейшие случаи — n − 1 (прямая), n = 2 (плоскость) и n = 3
(трёхмерное пространство).
   1) Расстоянием между двумя точками с координатами x и y на прямой является величи-
      на |x − y|, т.е. длина соединяющего их отрезка. Открытый шар радиуса r с центром в
      точке x — это интервал (x − r, x + r), а замкнутый — отрезок [x − r, x + r].
   2) Расстояние на плоскости — это
                                         p
                                ρ(x, y) = (x1 − y2 )2 + (x2 − y2 )2 ,
      т.е. «самое обычное» расстояние. Двумерным открытым шаром является круг без границы,
      а замкнутым — тот же круг, но вместе с описывающей его окружностью.
   3) В трёхмерном пространстве расстоянием также является длина отрезка, соединяющего
      соответствующие точки, открытым шаром — «настоящий» шар (без граничной сферы), а
      замкнутым — тот же шар, но уже с ограничивающей его сферой.
  Открытый шар, содержащий некоторую точку, называется её окрестностью.
  Определение 3. Множество M ⊂ Rn называется открытым, если у любой точки x ∈ M
найдётся окрестность, целиком содержащаяся в M .
                                                        1