Функции многих переменных. - 2 стр.

2                                 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

  Пример 2. Любой открытый шар являеьтся открытым множеством в смысле определения 3.
Открытыми являются пустое множество и всё пространство Rn .
    Расмотрим некоторое множество M ⊂ Rn .
    Определение 4. Замыканием множества M называется множество
                              M̄ = { x ∈ Rn | B n (x, r) ∩ M 6= ∅, ∀r }.
Множество называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием.
  Пример 3. Замыканием открытого шара B n (x, r) является замкнутый шар B̄ n (x, r), и, значит,
последний замкнут в смысле определения 4. Пустое множество и всё пространство Rn также
замкнуты.
  Замечание 1. Замыкание множества состоит из точек этого множества, а также точек, кото-
рые невозможно отделить от рассматриваемого множество, «бесконечно к нему близких». Такими,
например, являются крайние точки a и b по отношению к интервалу (a, b).
    Кривой в n-мерном пространстве называется совокупность непрерывных функций
                             x1 = x1 (t), . . . , xn = xn (t),       t ∈ [a, b].
  Определение 5. Множество M ⊂ Rn называется связным, если для любых двух точек x
и y ∈ Rn можно построить такую кривую, что
                        (x1 (a), . . . , xn (a)) = x,     (x1 (b), . . . , xn (b)) = y
и
                                (x1 (t), . . . , xn (t)) ∈ M,    ∀t ∈ [a, b].
  Таким образом, связным является такое множество, каждые две точки которого можно соеди-
нить кривой, целиком лежащей в этом множестве.
  Замечание 2. Множества, которые мы назвали связными, в математической литературе часто
называются линейно связными. Мы для простоты будем пользоваться термином «связный».
  Пример 4. Любой шар, открытый или замкнутый, связен. Связным также является всё про-
странство Rn . Множество
                                 M = { x ∈ R | x2 − 1 > 0 }
несвязно — оно является объединением двух непересекающихся подмножеств
                      M− = { x ∈ R | x 6 −1 },            M+ = { x ∈ R | x > 1 },
и ни одну точку из M− нельзя связать с точкой из M+ кривой, целиком лежащей в M .
  Определение 6. Открытой (замкнутой) областью в Rn называется открытое (замкнутое)
связное множество D ⊂ Rn .
  Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать функции, чья область определения является
областью в указанном выше смысле.
  Замечание 3. Конечно, легко придумать функцию чья область определения не является об-
ластью в смысле определения 6. Простой пример:
                                          p
                                       y = x2 − 1.
Здесь область определения распадается на два непересекающихся подмножества (см. пример 4),
но мы можем рассматривать нашу функцию на подмножествах M− и M+ как две разные функции.

Пределы. Теория пределов для функций многих аргументов является непосредственным обоб-
щением теории пределов, развитой нами для функций одного действительного аргумента.