Функции многих переменных. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

4 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Тогда существует двойной пределе
lim
x
2
→a
2
g(x
2
) = lim
x
2
→a
2
lim
x
1
→a
1
f(x
1
, x
2
)
и он совпадает с пределом (2).
Определение 8. Пусть u = f (x
1
, . . . , x
n
) — функция n переменных и точка a принадлежит
области её определения. Функция называется непрерывной в точке a = (a
1
, . . . , a
n
), если
lim
x→a
f(x
1
, . . . , x
n
) = f(a
1
, . . . , a
n
).
Функция называется непрерывной внекоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой
области.
Свойства непрерывных функций. Опишем основные свойства непрерывных функций мно-
гих переменных.
Предложение 1. Пусть функция u = f(x
1
, . . . , x
n
) непрерывна в точке a (области D) как
функция n переменных. Тогда она непрерывна и как функция каждой из переменных x
i
, i =
1, . . . , n.
Предложение 2. Пусть функции u = f(x
1
, . . . , x
n
) и u = g(x
1
, . . . , x
n
) непрерывны в точке a
(области D). Тогда функции
f(x
1
, . . . , x
n
) ±g(x
1
, . . . , x
n
), f(x
1
, . . . , x
n
) · g(x
1
, . . . , x
n
)
также непрерывны в этой точке (области). Функция
f(x
1
, . . . , x
n
)
g(x
1
, . . . , x
n
)
непрерывна во всех точках a, где g(a) 6= 0.
Определение 9. Рассмотрим функцию n аргументов u = f(x
1
, . . . , x
n
) и совокупность
x
1
= ϕ
1
(t
1
, . . . , t
k
), . . . , x
n
= ϕ
n
(t
1
, . . . , t
k
),
состоящую из n функций, зависящих от k аргументов. Тогда функция
u = f
ϕ
1
(t
1
, . . . , t
k
), . . . , ϕ
n
(t
1
, . . . , t
k
)
называется суперпозицией функций (или, иначе, сложной фунции).
Предложение 3. Если функция u = f(x
1
, . . . , x
n
) непрерывна в точке a = (a
1
, . . . , a
n
), функ-
ции
x
1
= ϕ
1
(t
1
, . . . , t
k
), . . . , x
n
= ϕ
n
(t
1
, . . . , t
k
),
непрерывны в точке b = (b
1
, . . . , b
k
) и
a
1
= ϕ
1
(b
1
, . . . , b
k
), . . . , a
n
= ϕ
n
(b
1
, . . . , b
k
),
то их суперпозиция непрерывна в точке b.
Для функций многих переменных справедливы теоремы Больцано–Коши и Вейерштрасса.
Сформулируем их.
Теорема 2 (первая теорема Больцано–Коши). Пусть функция u = f(x
1
, . . . , x
n
) определена и
непрерывна в области D и в некоторых точках a, b ∈ D принимает значения разных знаков. Тогда
найдётся точка o ∈ D, в которой функция принимает нулевое значение.
Теорема 3 (вторая теорема Больцано–Коши). Пусть функция u = f(x
1
, . . . , x
n
) определена и
непрерывна в области D и в некоторых точках a, b ∈ D принимает значения A = f(a) и B = f (b),
A < B. Тогда для любого числа C ∈ [A, B] найдётся точка c ∈ D, в которой функция принимает
значение C.
4                                          ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Тогда существует двойной пределе
                                            lim g(x2 ) = lim             lim f (x1 , x2 )
                                           x2 →a2              x2 →a2 x1 →a1

и он совпадает с пределом (2).

  Определение 8. Пусть u = f (x1 , . . . , xn ) — функция n переменных и точка a принадлежит
области её определения. Функция называется непрерывной в точке a = (a1 , . . . , an ), если
                                           lim f (x1 , . . . , xn ) = f (a1 , . . . , an ).
                                           x→a
Функция называется непрерывной внекоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой
области.

Свойства непрерывных функций. Опишем основные свойства непрерывных функций мно-
гих переменных.
    Предложение 1. Пусть функция u = f (x1 , . . . , xn ) непрерывна в точке a (области D) как
функция n переменных. Тогда она непрерывна и как функция каждой из переменных xi , i =
1, . . . , n.
  Предложение 2. Пусть функции u = f (x1 , . . . , xn ) и u = g(x1 , . . . , xn ) непрерывны в точке a
(области D). Тогда функции
                        f (x1 , . . . , xn ) ± g(x1 , . . . , xn ),    f (x1 , . . . , xn ) · g(x1 , . . . , xn )
также непрерывны в этой точке (области). Функция
                                                          f (x1 , . . . , xn )
                                                          g(x1 , . . . , xn )
непрерывна во всех точках a, где g(a) 6= 0.
    Определение 9. Рассмотрим функцию n аргументов u = f (x1 , . . . , xn ) и совокупность
                                    x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tk ),
состоящую из n функций, зависящих от k аргументов. Тогда функция
                                                                                     
                           u = f ϕ1 (t1 , . . . , tk ), . . . , ϕn (t1 , . . . , tk )
называется суперпозицией функций (или, иначе, сложной фунции).
  Предложение 3. Если функция u = f (x1 , . . . , xn ) непрерывна в точке a = (a1 , . . . , an ), функ-
ции
                            x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tk ),
непрерывны в точке b = (b1 , . . . , bk ) и
                                   a1 = ϕ1 (b1 , . . . , bk ), . . . , an = ϕn (b1 , . . . , bk ),
то их суперпозиция непрерывна в точке b.

  Для функций многих переменных справедливы теоремы Больцано–Коши и Вейерштрасса.
Сформулируем их.
  Теорема 2 (первая теорема Больцано–Коши). Пусть функция u = f (x1 , . . . , xn ) определена и
непрерывна в области D и в некоторых точках a, b ∈ D принимает значения разных знаков. Тогда
найдётся точка o ∈ D, в которой функция принимает нулевое значение.
  Теорема 3 (вторая теорема Больцано–Коши). Пусть функция u = f (x1 , . . . , xn ) определена и
непрерывна в области D и в некоторых точках a, b ∈ D принимает значения A = f (a) и B = f (b),
A < B. Тогда для любого числа C ∈ [A, B] найдётся точка c ∈ D, в которой функция принимает
значение C.

Страницы