ВУЗ:
Рубрика:
6 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Тогда определены производные
∂f
∂t
j
, j = 1, . . . , k, и справедливы равенства
∂f
∂t
1
=
∂f
∂x
1
∂x
1
∂t
1
+
∂f
∂x
2
∂x
2
∂t
1
+ ··· +
∂f
∂x
n
∂x
n
∂t
1
=
n
X
i=1
∂f
∂x
i
∂x
i
∂t
1
,
∂f
∂t
2
=
∂f
∂x
1
∂x
1
∂t
2
+
∂f
∂x
2
∂x
2
∂t
2
+ ··· +
∂f
∂x
n
∂x
n
∂t
2
=
n
X
i=1
∂f
∂x
i
∂x
i
∂t
2
,
.......................................................
∂f
∂t
k
=
∂f
∂x
1
∂x
1
∂t
k
+
∂f
∂x
2
∂x
2
∂t
k
+ ··· +
∂f
∂x
n
∂x
n
∂t
k
=
n
X
i=1
∂f
∂x
i
∂x
i
∂t
k
.
(4)
Замечание 4. Рассмотрим столбцы
∂f
∂t
=
∂f
∂t
1
. . .
∂f
∂t
k
,
∂f
∂x
=
∂f
∂x
1
. . .
∂f
∂x
n
,
понимаемые как k × 1- и n × 1-матрицы соответственно, а также k × n-матрицу
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(t
1
, . . . , t
k
)
=
∂x
1
∂t
1
∂x
2
∂t
1
. . .
∂x
n
∂t
1
∂x
1
∂t
2
∂x
2
∂t
2
. . .
∂x
n
∂t
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂x
1
∂t
k
∂x
2
∂t
k
. . .
∂x
n
∂t
k
. (5)
Тогда систему равенств (5) в матричном виде можно переписать следующим образом
∂f
∂t
=
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(t
1
, . . . , t
k
)
◦
∂f
∂x
. (6)
Такая запись является точным аналогом формулы для производной сложной функции, которую
мы выписывали для функций одного аргумента.
Определение 12. Матрица (5) называется якобианом системы функций
x
1
= ϕ
1
(t
1
, . . . , t
k
), . . . , x
n
= ϕ
n
(t
1
, . . . , t
k
).
Пример 10. Рассмотрим функцию u = f(x, y) и предположим, что x = ϕ(z), y = ψ(t). Тогда u
является функцией переменных z и t в силу равенств
u = f (ϕ(z, t), ψ(z, t)).
При этом
∂f
∂z
=
∂f
∂x
∂x
∂z
+
∂f
∂y
∂y
∂z
,
∂f
∂t
=
∂f
∂x
∂x
∂t
+
∂f
∂y
∂y
∂t
.
Рассмотрим случай, когда в равенствах (3) количество новых переменных t
1
, . . . , t
k
совпадает
с количеством старых x
1
, . . . , x
n
, т.е. n = k. Тогда эти равенства можно понимать как замену
переменных, т.е. переход от переменных x к переменным t.
Определение 13. Замена переменных
x
1
= ϕ
1
(t
1
, . . . , t
n
), . . . , x
n
= ϕ
n
(t
1
, . . . , t
n
) (7)
называется невырожденной в некоторой точке, если соответствующий якобиан является невы-
рожденной матрицей, т.е.
∂x
1
∂t
1
∂x
2
∂t
1
. . .
∂x
n
∂t
1
∂x
1
∂t
2
∂x
2
∂t
2
. . .
∂x
n
∂t
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂x
1
∂t
n
∂x
2
∂t
n
. . .
∂x
n
∂t
n
6= 0.
6 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ∂f Тогда определены производные ∂t j , j = 1, . . . , k, и справедливы равенства n ∂f ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn X ∂f ∂xi = + + ··· + = , ∂t1 ∂x1 ∂t1 ∂x2 ∂t1 ∂xn ∂t1 ∂xi ∂t1 i=1 n ∂f = ∂f ∂x1 + ∂f ∂x2 + · · · + ∂f ∂xn = ∂f ∂xi X , ∂t2 ∂x1 ∂t2 ∂x2 ∂t2 ∂xn ∂t2 ∂xi ∂t2 (4) i=1 ....................................................... n ∂f ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn X ∂f ∂xi ∂t = ∂x ∂t + ∂x ∂t + · · · + ∂x ∂t = . ∂x ∂t k 1 k 2 k n k i=1 i k Замечание 4. Рассмотрим столбцы ∂f ∂f ∂f ∂t1 ∂f ∂x1 = . . . , = ... , ∂t ∂f ∂x ∂f ∂tk ∂xn понимаемые как k × 1- и n × 1-матрицы соответственно, а также k × n-матрицу ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂t1 ∂t1 . . . ∂t1 D(x1 , . . . , xn ) ∂x 1 ∂x2 . . . ∂xn = ∂t2 ∂t2 ∂t2 . (5) D(t1 , . . . , tk ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∂x1 ∂x2 ∂tk ∂tk . . . ∂x ∂tk n Тогда систему равенств (5) в матричном виде можно переписать следующим образом ∂f D(x1 , . . . , xn ) ∂f = ◦ . (6) ∂t D(t1 , . . . , tk ) ∂x Такая запись является точным аналогом формулы для производной сложной функции, которую мы выписывали для функций одного аргумента. Определение 12. Матрица (5) называется якобианом системы функций x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tk ). Пример 10. Рассмотрим функцию u = f (x, y) и предположим, что x = ϕ(z), y = ψ(t). Тогда u является функцией переменных z и t в силу равенств u = f (ϕ(z, t), ψ(z, t)). При этом ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y = + , = + . ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t Рассмотрим случай, когда в равенствах (3) количество новых переменных t1 , . . . , tk совпадает с количеством старых x1 , . . . , xn , т.е. n = k. Тогда эти равенства можно понимать как замену переменных, т.е. переход от переменных x к переменным t. Определение 13. Замена переменных x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tn ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tn ) (7) называется невырожденной в некоторой точке, если соответствующий якобиан является невы- рожденной матрицей, т.е. ∂x1 ∂x2 ∂t1 ∂t1 . . . ∂x ∂t1 n ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂t2 ∂t2 . . . ∂t2 6= 0. ................... ∂x1 ∂x2 ∂tn ∂tn . . . ∂x ∂tn n
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »