ВУЗ:
Рубрика:
6 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Тогда определены производные
∂f
∂t
j
, j = 1, . . . , k, и справедливы равенства
∂f
∂t
1
=
∂f
∂x
1
∂x
1
∂t
1
+
∂f
∂x
2
∂x
2
∂t
1
+ ··· +
∂f
∂x
n
∂x
n
∂t
1
=
n
X
i=1
∂f
∂x
i
∂x
i
∂t
1
,
∂f
∂t
2
=
∂f
∂x
1
∂x
1
∂t
2
+
∂f
∂x
2
∂x
2
∂t
2
+ ··· +
∂f
∂x
n
∂x
n
∂t
2
=
n
X
i=1
∂f
∂x
i
∂x
i
∂t
2
,
.......................................................
∂f
∂t
k
=
∂f
∂x
1
∂x
1
∂t
k
+
∂f
∂x
2
∂x
2
∂t
k
+ ··· +
∂f
∂x
n
∂x
n
∂t
k
=
n
X
i=1
∂f
∂x
i
∂x
i
∂t
k
.
(4)
Замечание 4. Рассмотрим столбцы
∂f
∂t
=
∂f
∂t
1
. . .
∂f
∂t
k
,
∂f
∂x
=
∂f
∂x
1
. . .
∂f
∂x
n
,
понимаемые как k × 1- и n × 1-матрицы соответственно, а также k × n-матрицу
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(t
1
, . . . , t
k
)
=
∂x
1
∂t
1
∂x
2
∂t
1
. . .
∂x
n
∂t
1
∂x
1
∂t
2
∂x
2
∂t
2
. . .
∂x
n
∂t
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂x
1
∂t
k
∂x
2
∂t
k
. . .
∂x
n
∂t
k
. (5)
Тогда систему равенств (5) в матричном виде можно переписать следующим образом
∂f
∂t
=
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(t
1
, . . . , t
k
)
◦
∂f
∂x
. (6)
Такая запись является точным аналогом формулы для производной сложной функции, которую
мы выписывали для функций одного аргумента.
Определение 12. Матрица (5) называется якобианом системы функций
x
1
= ϕ
1
(t
1
, . . . , t
k
), . . . , x
n
= ϕ
n
(t
1
, . . . , t
k
).
Пример 10. Рассмотрим функцию u = f(x, y) и предположим, что x = ϕ(z), y = ψ(t). Тогда u
является функцией переменных z и t в силу равенств
u = f (ϕ(z, t), ψ(z, t)).
При этом
∂f
∂z
=
∂f
∂x
∂x
∂z
+
∂f
∂y
∂y
∂z
,
∂f
∂t
=
∂f
∂x
∂x
∂t
+
∂f
∂y
∂y
∂t
.
Рассмотрим случай, когда в равенствах (3) количество новых переменных t
1
, . . . , t
k
совпадает
с количеством старых x
1
, . . . , x
n
, т.е. n = k. Тогда эти равенства можно понимать как замену
переменных, т.е. переход от переменных x к переменным t.
Определение 13. Замена переменных
x
1
= ϕ
1
(t
1
, . . . , t
n
), . . . , x
n
= ϕ
n
(t
1
, . . . , t
n
) (7)
называется невырожденной в некоторой точке, если соответствующий якобиан является невы-
рожденной матрицей, т.е.
∂x
1
∂t
1
∂x
2
∂t
1
. . .
∂x
n
∂t
1
∂x
1
∂t
2
∂x
2
∂t
2
. . .
∂x
n
∂t
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂x
1
∂t
n
∂x
2
∂t
n
. . .
∂x
n
∂t
n
6= 0.
6 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
∂f
Тогда определены производные ∂t j
, j = 1, . . . , k, и справедливы равенства
n
∂f ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn X ∂f ∂xi
= + + ··· + = ,
∂t1 ∂x1 ∂t1 ∂x2 ∂t1 ∂xn ∂t1 ∂xi ∂t1
i=1
n
∂f = ∂f ∂x1 + ∂f ∂x2 + · · · + ∂f ∂xn = ∂f ∂xi
X
,
∂t2 ∂x1 ∂t2 ∂x2 ∂t2 ∂xn ∂t2 ∂xi ∂t2 (4)
i=1
.......................................................
n
∂f ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn X ∂f ∂xi
∂t = ∂x ∂t + ∂x ∂t + · · · + ∂x ∂t = .
∂x ∂t
k 1 k 2 k n k i=1 i k
Замечание 4. Рассмотрим столбцы
∂f ∂f
∂f ∂t1 ∂f ∂x1
= . . . , = ... ,
∂t ∂f ∂x ∂f
∂tk ∂xn
понимаемые как k × 1- и n × 1-матрицы соответственно, а также k × n-матрицу
∂x1 ∂x2 ∂xn
∂t1 ∂t1 . . . ∂t1
D(x1 , . . . , xn ) ∂x 1 ∂x2
. . . ∂xn
= ∂t2 ∂t2 ∂t2 . (5)
D(t1 , . . . , tk ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂x1 ∂x2
∂tk ∂tk . . . ∂x ∂tk
n
Тогда систему равенств (5) в матричном виде можно переписать следующим образом
∂f D(x1 , . . . , xn ) ∂f
= ◦ . (6)
∂t D(t1 , . . . , tk ) ∂x
Такая запись является точным аналогом формулы для производной сложной функции, которую
мы выписывали для функций одного аргумента.
Определение 12. Матрица (5) называется якобианом системы функций
x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tk ).
Пример 10. Рассмотрим функцию u = f (x, y) и предположим, что x = ϕ(z), y = ψ(t). Тогда u
является функцией переменных z и t в силу равенств
u = f (ϕ(z, t), ψ(z, t)).
При этом
∂f ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y
= + , = + .
∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
Рассмотрим случай, когда в равенствах (3) количество новых переменных t1 , . . . , tk совпадает
с количеством старых x1 , . . . , xn , т.е. n = k. Тогда эти равенства можно понимать как замену
переменных, т.е. переход от переменных x к переменным t.
Определение 13. Замена переменных
x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tn ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tn ) (7)
называется невырожденной в некоторой точке, если соответствующий якобиан является невы-
рожденной матрицей, т.е.
∂x1 ∂x2
∂t1 ∂t1 . . . ∂x
∂t1
n
∂x1 ∂x2 ∂xn
∂t2 ∂t2 . . . ∂t2
6= 0.
...................
∂x1 ∂x2
∂tn ∂tn . . . ∂x
∂tn
n
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
