Функции многих переменных. - 6 стр.

UptoLike

Рубрика: 

6 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Тогда определены производные
f
t
j
, j = 1, . . . , k, и справедливы равенства
f
t
1
=
f
x
1
x
1
t
1
+
f
x
2
x
2
t
1
+ ··· +
f
x
n
x
n
t
1
=
n
X
i=1
f
x
i
x
i
t
1
,
f
t
2
=
f
x
1
x
1
t
2
+
f
x
2
x
2
t
2
+ ··· +
f
x
n
x
n
t
2
=
n
X
i=1
f
x
i
x
i
t
2
,
.......................................................
f
t
k
=
f
x
1
x
1
t
k
+
f
x
2
x
2
t
k
+ ··· +
f
x
n
x
n
t
k
=
n
X
i=1
f
x
i
x
i
t
k
.
(4)
Замечание 4. Рассмотрим столбцы
f
t
=
f
t
1
. . .
f
t
k
,
f
x
=
f
x
1
. . .
f
x
n
,
понимаемые как k × 1- и n × 1-матрицы соответственно, а также k × n-матрицу
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(t
1
, . . . , t
k
)
=
x
1
t
1
x
2
t
1
. . .
x
n
t
1
x
1
t
2
x
2
t
2
. . .
x
n
t
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
1
t
k
x
2
t
k
. . .
x
n
t
k
. (5)
Тогда систему равенств (5) в матричном виде можно переписать следующим образом
f
t
=
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(t
1
, . . . , t
k
)
f
x
. (6)
Такая запись является точным аналогом формулы для производной сложной функции, которую
мы выписывали для функций одного аргумента.
Определение 12. Матрица (5) называется якобианом системы функций
x
1
= ϕ
1
(t
1
, . . . , t
k
), . . . , x
n
= ϕ
n
(t
1
, . . . , t
k
).
Пример 10. Рассмотрим функцию u = f(x, y) и предположим, что x = ϕ(z), y = ψ(t). Тогда u
является функцией переменных z и t в силу равенств
u = f (ϕ(z, t), ψ(z, t)).
При этом
f
z
=
f
x
x
z
+
f
y
y
z
,
f
t
=
f
x
x
t
+
f
y
y
t
.
Рассмотрим случай, когда в равенствах (3) количество новых переменных t
1
, . . . , t
k
совпадает
с количеством старых x
1
, . . . , x
n
, т.е. n = k. Тогда эти равенства можно понимать как замену
переменных, т.е. переход от переменных x к переменным t.
Определение 13. Замена переменных
x
1
= ϕ
1
(t
1
, . . . , t
n
), . . . , x
n
= ϕ
n
(t
1
, . . . , t
n
) (7)
называется невырожденной в некоторой точке, если соответствующий якобиан является невы-
рожденной матрицей, т.е.
x
1
t
1
x
2
t
1
. . .
x
n
t
1
x
1
t
2
x
2
t
2
. . .
x
n
t
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
1
t
n
x
2
t
n
. . .
x
n
t
n
6= 0.
6                                         ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

                                       ∂f
Тогда определены производные ∂t          j
                                           , j = 1, . . . , k, и справедливы равенства
                                                                                    n
                   ∂f         ∂f ∂x1           ∂f ∂x2                     ∂f ∂xn X ∂f ∂xi
                 
                         =                 +                + ··· +              =             ,
                 
                  ∂t1        ∂x1 ∂t1           ∂x2 ∂t1                   ∂xn ∂t1       ∂xi ∂t1
                                                                                    i=1
                 
                 
                                                                                    n
                  ∂f = ∂f ∂x1 + ∂f ∂x2 + · · · + ∂f ∂xn =                              ∂f ∂xi
                 
                                                                                   X
                                                                                                ,
                 
                   ∂t2        ∂x1 ∂t2           ∂x2 ∂t2                   ∂xn ∂t2       ∂xi ∂t2              (4)
                                                                                   i=1
                   .......................................................
                 
                 
                 
                 
                                                                                    n
                 
                   ∂f         ∂f ∂x1           ∂f ∂x2                     ∂f ∂xn X ∂f ∂xi
                  ∂t = ∂x ∂t + ∂x ∂t + · · · + ∂x ∂t =                                         .
                 
                 
                                                                                        ∂x ∂t
                 
                             k        1    k          2    k                  n     k      i=1       i   k

    Замечание 4. Рассмотрим столбцы
                                                          
                                                     ∂f                          ∂f 
                                          ∂f         ∂t1              ∂f          ∂x1
                                             = . . . ,                 = ... ,
                                                
                                          ∂t    ∂f                    ∂x    ∂f
                                                     ∂tk                          ∂xn

понимаемые как k × 1- и n × 1-матрицы соответственно, а также k × n-матрицу
                                                                                        
                                                    ∂x1        ∂x2                 ∂xn
                                                     ∂t1       ∂t1       . . .     ∂t1
                           D(x1 , . . . , xn )    ∂x  1      ∂x2
                                                                         . . .     ∂xn 
                                                =  ∂t2 ∂t2                        ∂t2  .                  (5)
                            D(t1 , . . . , tk )    . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                                                    ∂x1        ∂x2
                                                     ∂tk       ∂tk       . . . ∂x  ∂tk
                                                                                       n


Тогда систему равенств (5) в матричном виде можно переписать следующим образом
                                               ∂f   D(x1 , . . . , xn ) ∂f
                                                  =                    ◦   .                                 (6)
                                               ∂t   D(t1 , . . . , tk ) ∂x
Такая запись является точным аналогом формулы для производной сложной функции, которую
мы выписывали для функций одного аргумента.
    Определение 12. Матрица (5) называется якобианом системы функций
                                   x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tk ).
  Пример 10. Рассмотрим функцию u = f (x, y) и предположим, что x = ϕ(z), y = ψ(t). Тогда u
является функцией переменных z и t в силу равенств
                                                  u = f (ϕ(z, t), ψ(z, t)).
При этом
                                 ∂f   ∂f ∂x ∂f ∂y                     ∂f   ∂f ∂x ∂f ∂y
                                    =       +       ,                    =       +       .
                                 ∂z   ∂x ∂z   ∂y ∂z                   ∂t   ∂x ∂t   ∂y ∂t
  Рассмотрим случай, когда в равенствах (3) количество новых переменных t1 , . . . , tk совпадает
с количеством старых x1 , . . . , xn , т.е. n = k. Тогда эти равенства можно понимать как замену
переменных, т.е. переход от переменных x к переменным t.
    Определение 13. Замена переменных
                                   x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tn ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tn )            (7)
называется невырожденной в некоторой точке, если соответствующий якобиан является невы-
рожденной матрицей, т.е.
                                 ∂x1 ∂x2
                                 ∂t1  ∂t1 . . . ∂x
                                                ∂t1
                                                   n

                                 ∂x1 ∂x2        ∂xn
                                 ∂t2  ∂t2 . . . ∂t2
                                                     6= 0.
                                ...................
                                 ∂x1 ∂x2
                                 ∂tn ∂tn  . . . ∂x
                                                ∂tn
                                                   n