Функции многих переменных. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 7
Предложение 4. Если замена переменных невырождена в точке t = (t
1
, . . . , t
n
), то она невы-
рождена и в некоторой окрестности этой точки.
Теорема 7 (теорема об обратной функции). Пусть задана замена переменных (7), невырож-
денная в некоторой точке. Тогда найдётся окрестность этой точки, в которой рассматриваемая
замена обратима, т.е. найдутся такие функции
t
1
= ψ
1
(x
1
, . . . , x
n
), . . . , t
n
= ψ
1
(x
1
, . . . , x
n
), (8)
что
t
1
= ψ
1
(ϕ
1
(t
1
, . . . , t
n
), . . . , ϕ
n
(t
1
, . . . , t
n
)),
t
2
= ψ
2
(ϕ
1
(t
1
, . . . , t
n
), . . . , ϕ
n
(t
1
, . . . , t
n
)),
.................................................................
t
n
= ψ
n
(ϕ
1
(t
1
, . . . , t
n
), . . . , ϕ
n
(t
1
, . . . , t
n
))
и
x
1
= ϕ
1
(ψ
1
(x
1
, . . . , x
n
), . . . , ψ
n
(x
1
, . . . , x
n
)),
x
2
= ϕ
2
(ψ
1
(x
1
, . . . , x
n
), . . . , ψ
n
(x
1
, . . . , x
n
)),
.................................................................
x
n
= ϕ
n
(ψ
1
(x
1
, . . . , x
n
), . . . , ψ
n
(x
1
, . . . , x
n
)).
При этом якобианы замен (3) и (8) являются взаимно обратными матрицами, т.е.
D(t
1
, . . . , t
n
)
D(x
1
, . . . , x
n
)
◦
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(t
1
, . . . , t
n
)
= E,
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(t
1
, . . . , t
n
)
◦
D(t
1
, . . . , t
n
)
D(x
1
, . . . , x
n
)
= E,
где E — единичная n × n-матрица.
Следствие 1. Рассмотрим систему уравнений
ϕ
1
(x
1
, . . . , x
n
) = a
1
,
.......................
ϕ
n
(x
1
, . . . , x
n
) = a
n
(9)
относительно неизвествных x
1
, . . . , x
n
в орестности точки, в которой якобиан
D(ϕ
1
, . . . , ϕ
n
)
D(x
1
, . . . , x
n
)
невырожден. Тогда, если a
i
принадлежит области допустимых значений функции ϕ
i
в рассматри-
ваемой окрестности, i = 1, . . . , n, то эта система имеет единственное решение в той же окрестности.
Следствие 2 (теорема о неявной функции). Рассмотрим систему уравнений
ϕ
1
(x
1
, . . . , x
n
; y
1
, . . . , y
m
) = 0,
.......................
ϕ
n
(x
1
, . . . , x
n
; y
1
, . . . , y
m
) = 0,
(10)
относительно неизвестных x
1
, . . . , x
n
, где y
1
, . . . , y
m
— некоторые параметры, и предположим,
что в окрестности некоторой точки x ∈ R
n
якобиан
D(ϕ
1
,...,ϕ
n
)
D(x
1
,...,x
n
)
невырожден. Тогда существует
окрестность этой точки, в которой система (10) разрешима, т.е. приводится к виду
x
1
= ψ
1
(y
1
, . . . , y
m
),
.......................
x
n
= ψ
n
(y
1
, . . . , y
m
).
(11)
При этом выполняется матричное равенство
D(ϕ
1
, . . . , ϕ
x
)
D(x
1
, . . . , x
n
)
◦
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(y
1
, . . . , y
m
)
+
D(ϕ
1
, . . . , ϕ
n
)
D(y
1
, . . . , y
m
)
= 0, (12)
                                         ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ                                                       7

  Предложение 4. Если замена переменных невырождена в точке t = (t1 , . . . , tn ), то она невы-
рождена и в некоторой окрестности этой точки.
  Теорема 7 (теорема об обратной функции). Пусть задана замена переменных (7), невырож-
денная в некоторой точке. Тогда найдётся окрестность этой точки, в которой рассматриваемая
замена обратима, т.е. найдутся такие функции
                                 t1 = ψ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , tn = ψ1 (x1 , . . . , xn ),                       (8)
что                             
                                
                                t1 = ψ1 (ϕ1 (t1 , . . . , tn ), . . . , ϕn (t1 , . . . , tn )),
                                
                                t = ψ (ϕ (t , . . . , t ), . . . , ϕ (t , . . . , t )),
                                  2        2 1 1                n            n 1             n
                                .................................................................
                                
                                
                                 tn = ψn (ϕ1 (t1 , . . . , tn ), . . . , ϕn (t1 , . . . , tn ))
                                
и                             
                              
                               x1 = ϕ1 (ψ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , ψn (x1 , . . . , xn )),
                              
                              x = ϕ (ψ (x , . . . , x ), . . . , ψ (x , . . . , x )),
                                  2        2 1 1                 n            n 1              n
                              
                              
                               .................................................................
                                xn = ϕn (ψ1 (x1 , . . . , xn ), . . . , ψn (x1 , . . . , xn )).
                              

При этом якобианы замен (3) и (8) являются взаимно обратными матрицами, т.е.
              D(t1 , . . . , tn ) D(x1 , . . . , xn )                  D(x1 , . . . , xn ) D(t1 , . . . , tn )
                                 ◦                    = E,                                ◦                    = E,
              D(x1 , . . . , xn ) D(t1 , . . . , tn )                  D(t1 , . . . , tn ) D(x1 , . . . , xn )
где E — единичная n × n-матрица.
    Следствие 1. Рассмотрим систему уравнений
                                  
                                  ϕ1 (x1 , . . . , xn ) = a1 ,
                                  
                                    .......................                                                            (9)
                                  
                                    ϕn (x1 , . . . , xn ) = an
                                  

относительно неизвествных x1 , . . . , xn в орестности точки, в которой якобиан
                                                        D(ϕ1 , . . . , ϕn )
                                                        D(x1 , . . . , xn )
невырожден. Тогда, если ai принадлежит области допустимых значений функции ϕi в рассматри-
ваемой окрестности, i = 1, . . . , n, то эта система имеет единственное решение в той же окрестности.
  Следствие 2 (теорема о неявной функции). Рассмотрим систему уравнений
                                
                                ϕ1 (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , ym ) = 0,
                                
                                    .......................                                                   (10)
                                
                                    ϕn (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , ym ) = 0,
                                
относительно неизвестных x1 , . . . , xn , где y1 , . . . , ym — некоторые параметры, и предположим,
                                                                           1 ,...,ϕn )
что в окрестности некоторой точки x ∈ Rn якобиан D(ϕ                   D(x1 ,...,xn ) невырожден. Тогда существует
окрестность этой точки, в которой система (10) разрешима, т.е. приводится к виду
                                        
                                        x1 = ψ1 (y1 , . . . , ym ),
                                        
                                            .......................                                           (11)
                                        
                                            xn = ψn (y1 , . . . , ym ).
                                        

При этом выполняется матричное равенство
                            D(ϕ1 , . . . , ϕx ) D(x1 , . . . , xn ) D(ϕ1 , . . . , ϕn )
                                               ◦                   +                    = 0,                          (12)
                            D(x1 , . . . , xn ) D(y1 , . . . , ym ) D(y1 , . . . , ym )

Страницы