Функции многих переменных. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

8 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
или
D(x
1
, . . . , x
n
)
D(y
1
, . . . , y
m
)
= −
D(ϕ
1
, . . . , ϕ
x
)
D(x
1
, . . . , x
n
)
−1
◦
D(ϕ
1
, . . . , ϕ
n
)
D(y
1
, . . . , y
m
)
, (13)
где якобиан
D(x
1
,...,x
n
)
D(y
1
,...,y
m
)
вычисляется в силу равенств (11), а остальные — в силу (10).
Теперь мы определим для функций многих переменных понятие дифференцируемости. Рас-
смотрим функцию u = f (x
1
, . . . , x
n
) и точку x, принадлежащую области её определения. Задим
каждому аргументу x
i
приращение ∆x
i
, i = 1, . . . , n, и положим
∆ρ =
p
(∆x
1
)
2
+ ··· + (∆x
2
n
).
Таким образом, величина ∆ρ измеряет расстояние, на которое точка отстоит от исходной после
приращения её координат. Положим
∆f = f (x
1
+ ∆x
1
, . . . , x
n
+ ∆x
n
) − f (x
1
, . . . , x
n
).
Иными словами, ∆f — соответствующее приращение функциию
Определение 14. Функция u = f(x
1
, . . . , x
n
) называется дифференцируемой в точке x, если в
рассматриваемой точке её приращение имеет вид
∆f = α
1
∆x
1
+ ··· + α
n
∆x
n
+ o(ρ), (14)
где α
1
, . . . , α
n
— постоянные, а o(ρ) — величина, бесконечно малая по отношению к ρ. Величина
df = α
1
dx
1
+ ··· + α
n
dx
n
(15)
называется главной частью приращения функции, или её дифференциалом.
Теорема 8. Если у функции u = f(x
1
, . . . , x
n
) существуют непрерывные частные производные
в некоторой окрестности точки x, то она дифференцируема в этой точке, причём её дифференциал
имеет вид
df =
∂f
∂x
1
dx
1
+ ··· +
∂f
∂x
n
dx
n
. (16)
Следствие 3. Если функция u = f(x
1
, . . . , x
n
) обладает непрерывными производными в неко-
торой точке, то и сама функция непрерывна в этой точке.
Рассмотрим некоторую функцию u = f (x
1
, . . . , x
n
) и предположим, что переменные x
1
, . . . , x
n
сами являются функциями некоторых параметров t
1
, . . . , t
k
:
x
1
= ϕ
1
(t
1
, . . . , t
m
), . . . , x
n
= ϕ
n
(t
1
, . . . , t
m
). (17)
Тогда u становится сложной функцией, зависящей от t
1
, . . . , t
m
, и её дифференциал можно вы-
числить двумя способами:
1) вычислить частные производные
∂f
∂t
j
и положить
df =
∂f
∂t
1
dt
1
+ ··· +
∂f
∂t
m
dt
m
; (18)
2) сначала вычислить дифференциал фунции u как функции переменных x
1
, . . . , x
n
, т.е. по-
ложить
df =
∂f
∂x
1
dx
1
+ ··· +
∂f
∂x
n
dx
n
, (19)
а потом вычислить дифференциалы функций x
i
= ϕ
i
(t
1
, . . . , t
m
):
dx
i
=
∂ϕ
i
∂t
1
dt
1
+ ··· +
∂ϕ
i
∂t
m
dt
m
(20)
и подставить выражения (20) в формулу (19).
8                                           ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

или
                               D(x1 , . . . , xn )     D(ϕ , . . . , ϕ ) −1 D(ϕ , . . . , ϕ )
                                                           1            x         1            n
                                                   =−                        ◦                     ,   (13)
                               D(y1 , . . . , ym )      D(x1 , . . . , xn )    D(y1 , . . . , ym )
              D(x1 ,...,xn )
где якобиан   D(y1 ,...,ym )   вычисляется в силу равенств (11), а остальные — в силу (10).

  Теперь мы определим для функций многих переменных понятие дифференцируемости. Рас-
смотрим функцию u = f (x1 , . . . , xn ) и точку x, принадлежащую области её определения. Задим
каждому аргументу xi приращение ∆xi , i = 1, . . . , n, и положим
                                            p
                                     ∆ρ = (∆x1 )2 + · · · + (∆x2n ).
Таким образом, величина ∆ρ измеряет расстояние, на которое точка отстоит от исходной после
приращения её координат. Положим
                                  ∆f = f (x1 + ∆x1 , . . . , xn + ∆xn ) − f (x1 , . . . , xn ).
Иными словами, ∆f — соответствующее приращение функциию
  Определение 14. Функция u = f (x1 , . . . , xn ) называется дифференцируемой в точке x, если в
рассматриваемой точке её приращение имеет вид
                                           ∆f = α1 ∆x1 + · · · + αn ∆xn + o(ρ),                        (14)
где α1 , . . . , αn — постоянные, а o(ρ) — величина, бесконечно малая по отношению к ρ. Величина
                                                 df = α1 dx1 + · · · + αn dxn                          (15)
называется главной частью приращения функции, или её дифференциалом.
   Теорема 8. Если у функции u = f (x1 , . . . , xn ) существуют непрерывные частные производные
в некоторой окрестности точки x, то она дифференцируема в этой точке, причём её дифференциал
имеет вид
                                       ∂f                  ∂f
                                 df =       dx1 + · · · +      dxn .                         (16)
                                       ∂x1                 ∂xn
  Следствие 3. Если функция u = f (x1 , . . . , xn ) обладает непрерывными производными в неко-
торой точке, то и сама функция непрерывна в этой точке.
  Рассмотрим некоторую функцию u = f (x1 , . . . , xn ) и предположим, что переменные x1 , . . . , xn
сами являются функциями некоторых параметров t1 , . . . , tk :
                                     x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tm ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tm ).   (17)
Тогда u становится сложной функцией, зависящей от t1 , . . . , tm , и её дифференциал можно вы-
числить двумя способами:
                                                        ∂f
    1) вычислить частные производные                    ∂tj   и положить
                                                       ∂f                ∂f
                                               df =        dt1 + · · · +     dtm ;                     (18)
                                                       ∂t1               ∂tm
    2) сначала вычислить дифференциал фунции u как функции переменных x1 , . . . , xn , т.е. по-
       ложить
                                    ∂f                ∂f
                               df =     dx1 + · · · +     dxn ,                             (19)
                                    ∂x1               ∂xn
       а потом вычислить дифференциалы функций xi = ϕi (t1 , . . . , tm ):
                                                        ∂ϕi               ∂ϕi
                                              dxi =         dt1 + · · · +     dtm                      (20)
                                                        ∂t1               ∂tm
      и подставить выражения (20) в формулу (19).

Страницы