Функции многих переменных. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

10 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
которое и используется для оценки погрешности вычисленной величины.
В частности, из формулы (23) следует, что
δ(a ±b) = δa + δb, (28)
т.е. при сложении или вычитании величин их абсолютные погрешности всегда складываются.
Заметим теперь, что из инвариантности дифференциала вытекает равенство
d(ln a) =
da
a
,
откуда, в силу того, что
ln(ab) = ln a + ln b, ln
a
b
= ln a − ln b,
следует, что
δ(ab)
|ab|
=
δa
|a|
+
δb
|b|
,
δ(a/b)
|a/b|
=
δa
|a|
+
δb
|b|
. (29)
Таким образом, при умножении или делении величин их относительные погрешности всегда
складываются.
Пример 14. Теперь мы можем ответить на вопросы, поставленные в примерах 11–13.
Пример 11: Из первого равенства (29) мы немедленно поллучаем, что относительная по-
грешность определения площади составляет 5%+ 5% = 10%, а объёма — 5%+ 5%+ 5% = 15%.
Пример 12: Пусть a и c — катеты, а b — гипотенуза рассматриваемого треугольника. Тогда
по теореме Пифагора c =
√
a
2
+ b
2
и в силу равенства (27)
δc =
a
√
a
2
+ b
2
δa +
b
√
a
2
+ b
2
δb,
или
δc
c
=
a
2
√
a
2
+ b
2
·
δa
a
+
b
2
√
a
2
+ b
2
·
δb
b
.
Значит, если относительные погрешности измерения катетов совпадают и равны, скажем, e,
то относительная погрешность вычисления гипотенузы равна 2e = 20%.
Пример 13: Пусть s — путь, t — время и v — скорость. Тогда из второго равенства (29)
следует, что
δv
v
=
δs
s
+
δt
t
= 5% + 1% = 6%.
3. Исследование функций многих переменных
В этом параграфе мы изучим, как находить минимумы и максимумы функций многих пере-
менных.
Определение 16. Пусть функция u = f (x
1
, . . . , x
n
) определена в открытой области и x — точка
этой области. Говорят, что функция u достигает в точке x локального минимума (максимума),
если существует такая окрестность B
n
(x, r), что f (x) 6 f(x
′
) (f(x) > f(x
′
)) для любой точки x
′
∈
B
n
(x, r). Локальные минимумы или максимумы называются экстремумами.
Необходимое условие существование экстремума для функций многих переменных формули-
руется аналогично случаю функции одного аргумента.
Теорема 9. Пусть функция u = f (x
1
, . . . , x
n
) определена в некоторой окрестности точки x и
в самой точке существуют все частные призводные
∂f
∂x
i
, i = 1, . . . , n. Тогда все они обращаются в
нуль в рассматриваемой точке.
Точки области определения функции, в которых все её производные обращаются в нуль, назы-
ваются стационарными. Как и вслучае одной переменной, обращение в нуль первых производных
не является достаточным для существования экстремума.
10                                 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

которое и используется для оценки погрешности вычисленной величины.
  В частности, из формулы (23) следует, что
                                           δ(a ± b) = δa + δb,                                       (28)
т.е. при сложении или вычитании величин их абсолютные погрешности всегда складываются.
   Заметим теперь, что из инвариантности дифференциала вытекает равенство
                                                     da
                                           d(ln a) =     ,
                                                       a
откуда, в силу того, что
                                                         a
                            ln(ab) = ln a + ln b,     ln = ln a − ln b,
                                                         b
следует, что
                            δ(ab)    δa    δb       δ(a/b)   δa    δb
                                  =      + ,               =    + .                (29)
                             |ab|    |a| |b|         |a/b|   |a| |b|
Таким образом, при умножении или делении величин их относительные погрешности всегда
складываются.
     Пример 14. Теперь мы можем ответить на вопросы, поставленные в примерах 11–13.
      Пример 11: Из первого равенства (29) мы немедленно поллучаем, что относительная по-
        грешность определения площади составляет 5%+5% = 10%, а объёма — 5%+5%+5% = 15%.
      Пример 12: Пусть a и c — катеты,
                                 √         а b — гипотенуза рассматриваемого треугольника. Тогда
                                     2    2
        по теореме Пифагора c = a + b и в силу равенства (27)
                                             a              b
                                  δc = √           δa + √        δb,
                                            2
                                          a +b   2        a + b2
                                                           2
        или
                                δc        a2       δa       b2     δb
                                   =√            ·    +√         · .
                                c       a2 + b2 a         a2 + b2 b
        Значит, если относительные погрешности измерения катетов совпадают и равны, скажем, e,
        то относительная погрешность вычисления гипотенузы равна 2e = 20%.
      Пример 13: Пусть s — путь, t — время и v — скорость. Тогда из второго равенства (29)
        следует, что
                                  δv    δs δt
                                      =      +     = 5% + 1% = 6%.
                                   v     s     t


     3. Исследование функций многих переменных
  В этом параграфе мы изучим, как находить минимумы и максимумы функций многих пере-
менных.
   Определение 16. Пусть функция u = f (x1 , . . . , xn ) определена в открытой области и x — точка
этой области. Говорят, что функция u достигает в точке x локального минимума (максимума),
если существует такая окрестность B n (x, r), что f (x) 6 f (x′ ) (f (x) > f (x′ )) для любой точки x′ ∈
B n (x, r). Локальные минимумы или максимумы называются экстремумами.
  Необходимое условие существование экстремума для функций многих переменных формули-
руется аналогично случаю функции одного аргумента.
   Теорема 9. Пусть функция u = f (x1 , . . . , xn ) определена в некоторой окрестности точки x и
                                                        ∂f
в самой точке существуют все частные призводные ∂x        i
                                                            , i = 1, . . . , n. Тогда все они обращаются в
нуль в рассматриваемой точке.
  Точки области определения функции, в которых все её производные обращаются в нуль, назы-
ваются стационарными. Как и вслучае одной переменной, обращение в нуль первых производных
не является достаточным для существования экстремума.

Страницы