Функции многих переменных. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 11
Пример 15. Производные функции u = x
2
− y
2
равны
∂u
∂x
= 2x,
∂u
∂y
= −2y
и, очевидно, обращаются в нуль в точке (0, 0), однако функция не достигает в этой точке ни
максимума, ни минимума.
Достаточные условия существования экстремума у функций многих переменных значительно
сложнее, чем в случае функций одного аргумента. Чтобы из сформулировать, введём нужные
нам понятия.
Производные высших порядков. Рассмотрим вначале простейший случай функции двух пе-
ременных u = f(x, y). Предположим, что в некоторой области существуют частные производные
этой функции по обеим переменным. Тогда эти производные сами являются являются функциями
двух переменных и их тоже можно продифференцировать, рассмотрев производные
∂
∂x
∂f
∂x
=
∂
2
u
∂x
2
,
∂
∂x
∂f
∂y
=
∂
2
u
∂x∂y
,
∂
∂y
∂f
∂x
=
∂
2
u
∂y∂x
,
∂
∂y
∂f
∂y
=
∂
2
u
∂y
2
.
Эти производные (если, конечно, они существуют) называются частными производными второго
порядка.
Пример 16. Возвращаясь к примеру 15, мы видим, что
∂
2
u
∂x
2
= 2,
∂
2
u
∂x∂y
=
∂
2
u
∂y∂x
= 0,
∂
2
u
∂y
2
= −2.
Заметим, что в рассмотренном примере вторые производные функции u по x и по y, взятые в
разном порядке (такие производные называются смешанными), совпадают. Этот факт не случаен,
и справедлив следующий результат.
Теорема 10. Предположим, что:
1) функция u = f(x, y) определена в открытой области D ⊂ R
2
;
2) в этой области существуют первые производные
∂u
∂x
,
∂u
∂y
и вторые смешанные производные
∂
2
u
∂x∂y
∂
2
u
∂y∂x
;
3) последние производные непрерывны в рассматриваемой точке.
Тогда имеет место равенство
∂
2
u
∂x∂y
=
∂
2
u
∂y∂x
.
Непрерывность смешанных производных существенна для того, чтобы утверждение теоремы 10
оставалось справедливым.
Пример 17. Рассмотрим функцию
f(x, y) =
xy
x
2
− y
2
x
2
+ y
2
, если x
2
+ y
2
6= 0,
0, если x = 0, y = 0.
Тогда
∂f
∂x
=
y
x
2
− y
2
x
2
+ y
2
+
4x
2
y
2
(x
2
+ y
2
)
2
, если x
2
+ y
2
6= 0,
0, если x = 0, y = 0.
                                ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ                               11

  Пример 15. Производные функции u = x2 − y 2 равны
                               ∂u             ∂u
                                   = 2x,         = −2y
                               ∂x             ∂y
и, очевидно, обращаются в нуль в точке (0, 0), однако функция не достигает в этой точке ни
максимума, ни минимума.
  Достаточные условия существования экстремума у функций многих переменных значительно
сложнее, чем в случае функций одного аргумента. Чтобы из сформулировать, введём нужные
нам понятия.
Производные высших порядков. Рассмотрим вначале простейший случай функции двух пе-
ременных u = f (x, y). Предположим, что в некоторой области существуют частные производные
этой функции по обеим переменным. Тогда эти производные сами являются являются функциями
двух переменных и их тоже можно продифференцировать, рассмотрев производные
           ∂  ∂f  ∂ 2 u     ∂  ∂f     ∂2u   ∂  ∂f     ∂2u    ∂  ∂f  ∂ 2 u
                    =      ,           =      ,          =      ,          =      .
          ∂x ∂x        ∂x2   ∂x ∂y       ∂x∂y   ∂y ∂x      ∂y∂x   ∂y ∂y      ∂y 2
Эти производные (если, конечно, они существуют) называются частными производными второго
порядка.
  Пример 16. Возвращаясь к примеру 15, мы видим, что
                           ∂2u         ∂2u    ∂2u          ∂2u
                               = 2,        =      = 0,          = −2.
                           ∂x2        ∂x∂y   ∂y∂x          ∂y 2
  Заметим, что в рассмотренном примере вторые производные функции u по x и по y, взятые в
разном порядке (такие производные называются смешанными), совпадают. Этот факт не случаен,
и справедлив следующий результат.
  Теорема 10. Предположим, что:
   1) функция u = f (x, y) определена в открытой области D ⊂ R2 ;
   2) в этой области существуют первые производные
                                          ∂u       ∂u
                                             ,
                                          ∂x       ∂y
        и вторые смешанные производные
                                          ∂2u      ∂2u
                                                       ;
                                         ∂x∂y     ∂y∂x
   3) последние производные непрерывны в рассматриваемой точке.
Тогда имеет место равенство
                                      ∂2u     ∂2u
                                           =      .
                                     ∂x∂y    ∂y∂x
  Непрерывность смешанных производных существенна для того, чтобы утверждение теоремы 10
оставалось справедливым.
  Пример 17. Рассмотрим функцию
                                        2   2
                                   xy x − y , если x2 + y 2 6= 0,
                        f (x, y) =      x + y2
                                         2

                                     0,        если x = 0, y = 0.
                                   

Тогда                        2      2      2 2
                           y x − y + 4x y
                                                     
                      ∂f                              , если x2 + y 2 6= 0,
                         =     x2 + y 2 (x2 + y 2 )2
                      ∂x 
                            0,                          если x = 0, y = 0.

Страницы