Функции многих переменных. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

12 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
и
∂f
∂y
=
x
x
2
− y
2
x
2
+ y
2
−
4x
2
y
2
(x
2
+ y
2
)
2
, если x
2
+ y
2
6= 0,
0, если x = 0, y = 0,
откуда следует, что
∂
2
f
∂x∂y
= −1,
∂
2
f
∂y∂x
= 1.
Если производные второго порядка можно продифференцировать, то мы получим шесть про-
изводных третьего порядка
∂
∂x
∂
2
f
∂x
2
=
∂
3
f
∂x
3
,
∂
∂x
∂
2
f
∂x∂y
,
∂
∂x
∂
2
f
∂y
2
,
∂
∂y
∂
2
f
∂x
2
,
∂
∂y
∂
2
f
∂x∂y
,
∂
∂y
∂
2
f
∂y
2
=
∂
3
f
∂x
3
.
Среди этих производных четыре являются смешанными, и, если они непрерывны, то, в силу
теоремы 10, выполняются равенства
∂
∂x
∂
2
f
∂x∂y
=
∂
∂y
∂
2
f
∂x
2
=
∂
3
f
∂x
2
∂y
,
∂
∂x
∂
2
f
∂y
2
=
∂
∂y
∂
2
f
∂x∂y
=
∂
3
f
∂x∂y
2
.
Вообще, если все частные производные функции u = f (x, y) порядка n существуют и непрерывны,
то мы имеем n + 1 производную
∂
n
f
∂x
n
,
∂
n
f
∂x
n−1
∂y
,
∂
n
f
∂x
n−2
∂y
2
, . . . ,
∂
n
f
∂x
n−i
∂y
i
, . . . ,
∂
n
f
∂x∂y
n−1
,
∂
n
f
∂y
n
.
Для функций произвольного числа переменных имеет место следующий результат, обобщаю-
щий теорему 10:
Теорема 11. Пусть функция u = f (x
1
, . . . , x
n
) определена в открытой обрасти D ⊂ R
n
и имеет
в этой области все частные производные до порядка n−1 включительно, а также смешанные про-
изводные порядка n, причём последние непрерывны в рассматриваемой области. Тогда значение
любой n-й смешанной производной не зависит от порядка, в котором производятся последова-
тельные дифференцирования функции u.
Теперь можно сформулировать достаточные условия существования экстремума. Мы сделаем
это для функций, зависящих от двух переменных.
Определение 17. Пусть функция u = f(x, y) определена в области D и имеет в этой области
непрерывные производные первого и второго порядка. Матрица
H(f) =
∂
2
f
∂x
2
∂
2
f
∂x∂y
∂
2
f
∂x∂y
∂
2
f
∂y
2
!
(30)
называется гессианом функции f.
Обозначим через
∆
H(f)
=
∂
2
f
∂x
2
∂
2
f
∂y
2
−
∂
2
f
∂x∂y
2
определитель гессиана, а через
tr
H(f)
=
∂
2
f
∂x
2
+
∂
2
f
∂y
2
его след.
Теорема 12 (достаточные условия существования экстремума). Путь функция u = f(x, y)
определена в открытой области D и имеет в этой области непрерывные производные первого и
второго порядка. Рассмотрим стационарную точку x ∈ D и значения ∆
H(f)
и tr
H(f)
в этой точке.
Тогда:
12                                ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

и                             2       2      2 2
                            x x − y − 4x y
                                                       
                       ∂f                               , если x2 + y 2 6= 0,
                          =      x2 + y 2 (x2 + y 2 )2
                       ∂y
                              0,                          если x = 0, y = 0,
                            
откуда следует, что
                                     ∂2f                    ∂2f
                                         = −1,                  = 1.
                                    ∂x∂y                   ∂y∂x
  Если производные второго порядка можно продифференцировать, то мы получим шесть про-
изводных третьего порядка
                        ∂  ∂2f  ∂3f                ∂  ∂2f                 ∂  ∂2f 
                                     =     ,                      ,                    ,
                        ∂x ∂x2         ∂x3         ∂x ∂x∂y                   ∂x ∂y 2
                         ∂  ∂2f         ∂  ∂2f               ∂  ∂2f  ∂3f
                                    ,                     ,                     =      .
                        ∂y ∂x2           ∂y ∂x∂y                 ∂y ∂y 2           ∂x3
Среди этих производных четыре являются смешанными, и, если они непрерывны, то, в силу
теоремы 10, выполняются равенства
             ∂  ∂2f       ∂  ∂2f       ∂3f              ∂  ∂2f           ∂  ∂2f        ∂3f
                        =              =         ,                        =               =         .
            ∂x ∂x∂y        ∂y ∂x2        ∂x2 ∂y             ∂x ∂y 2           ∂y ∂x∂y        ∂x∂y 2
Вообще, если все частные производные функции u = f (x, y) порядка n существуют и непрерывны,
то мы имеем n + 1 производную
                  ∂nf      ∂nf          ∂nf                  ∂nf                ∂nf      ∂nf
                      ,           ,            , . . . ,            , . . . ,          ,     .
                  ∂xn ∂xn−1 ∂y ∂xn−2 ∂y 2                ∂xn−i ∂y i           ∂x∂y n−1 ∂y n
  Для функций произвольного числа переменных имеет место следующий результат, обобщаю-
щий теорему 10:
   Теорема 11. Пусть функция u = f (x1 , . . . , xn ) определена в открытой обрасти D ⊂ Rn и имеет
в этой области все частные производные до порядка n − 1 включительно, а также смешанные про-
изводные порядка n, причём последние непрерывны в рассматриваемой области. Тогда значение
любой n-й смешанной производной не зависит от порядка, в котором производятся последова-
тельные дифференцирования функции u.
  Теперь можно сформулировать достаточные условия существования экстремума. Мы сделаем
это для функций, зависящих от двух переменных.
  Определение 17. Пусть функция u = f (x, y) определена в области D и имеет в этой области
непрерывные производные первого и второго порядка. Матрица
                                             2     2 !
                                                     ∂ f     ∂ f
                                                     ∂x2    ∂x∂y
                                       H(f ) =       ∂2f     ∂2f                                (30)
                                                    ∂x∂y     ∂y 2
называется гессианом функции f .
     Обозначим через
                                              ∂ 2 f ∂ 2 f  ∂ 2 f 2
                                   ∆H(f ) =              −
                                              ∂x2 ∂y 2     ∂x∂y
определитель гессиана, а через
                                                    ∂2f   ∂2f
                                        trH(f ) =       +
                                                    ∂x2   ∂y 2
его след.
  Теорема 12 (достаточные условия существования экстремума). Путь функция u = f (x, y)
определена в открытой области D и имеет в этой области непрерывные производные первого и
второго порядка. Рассмотрим стационарную точку x ∈ D и значения ∆H(f ) и trH(f ) в этой точке.
Тогда:

Страницы