ВУЗ:
Рубрика:
14 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
где a = (x
0
, y
0
, z
0
) — рассматриваемая точка поверхности и λ, µ ∈ R. Те же уравнения можно
записать в виде
x − x
0
y − y
0
z − z
0
∂ϕ(a)
∂u
∂ψ(a)
∂u
∂χ(a)
∂u
∂ϕ(a)
∂v
∂ψ(a)
∂v
∂χ(a)
∂v
= 0, (37)
или
∂ψ(a)
∂u
∂χ(a)
∂v
−
∂χ(a)
∂u
∂ψ(a)
∂v
(x − x
0
) −
∂ϕ(a)
∂u
∂χ(a)
∂v
−
∂χ(a)
∂u
∂ϕ(a)
∂v
(y − y
0
)+
+
∂ϕ(a)
∂u
∂ψ(a)
∂v
−
∂ψ(a)
∂u
∂ϕ(a)
∂v
(z − z
0
). (38)
Если поверхность задана уравнением (31), то касательная плоскость определяется уравнением
∂F (a)
∂x
(x − x
0
) +
∂F (a)
∂y
(y − y
0
) +
∂F (a)
∂z
(z − z
0
) = 0. (39)
Прямая, перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касанаия, на-
зывается нормалью к поверхности в данной точке. Параметрические уравнения нормали имеют
вид
x =
∂ψ(a)
∂u
∂χ(a)
∂v
−
∂χ(a)
∂u
∂ψ(a)
∂v
λ + x
0
,
y =
∂ϕ(a)
∂u
∂χ(a)
∂v
−
∂χ(a)
∂u
∂ϕ(a)
∂v
λ + y
0
,
z =
∂ϕ(a)
∂u
∂ψ(a)
∂v
−
∂ψ(a)
∂u
∂ϕ(a)
∂v
λ + z
0
,
(40)
λ ∈ R, или
x =
∂F (a)
∂x
λ + x
0
, x =
∂F (a)
∂y
λ + y
0
, x =
∂F (a)
∂z
λ + z
0
. (41)
Пример 19. Если S — сфера, заданная уравнением (32), то
x
0
x + y
0
y + z
0
z = R
2
— у равнение касательной плоскости, а
x = x
0
(2λ + 1), y = y
0
(2λ + 1), z = x
0
(2λ + 1)
— у равнение нормали, проходящих через точку (x
0
, y
0
, z
0
) ∈ S.
Сечения и линии уровня. Пусть поверхность S задана параметрическими уравнениями (34)
и
u = u(t), v = v(t), t ∈ [t
0
, t
1
],
— кривая в плоскости параметров (u, v). Тогда в пространстве R
3
возникает кривая
x = ϕ(u(t), v(t)) = x(t), y = ψ(u(t), v(t)) = y(t), z = χ(u(t), v(t)) = z(t),
целиком лежащая на поверхности S.
Частным случаем таких кривых являются сечения. Пусть a ∈ S — точка рассматриваемой
поверхности, в некоторой окрестности которой матрица
∂
2
x
∂u
2
∂
2
x
∂u∂v
∂
2
x
∂v
2
∂
2
y
∂u
2
∂
2
y
∂u∂v
∂
2
y
∂v
2
∂
2
z
∂u
2
∂
2
z
∂u∂v
∂
2
z
∂v
2
отлична от нулевой, и P — плоскость, проходящая через эту точку. Тогда пересечение S∩P являет-
ся плоской кривой, которая называется сечением поверхности S плоскостью P . Если поверхность
задана уравнением z = f (x, y), то её сечения плоскостями z = c, где c — число, называются
линиями уровня.
Пример 20. Любое сечение сферы — это окружность.
14 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
где a = (x0 , y0 , z0 ) — рассматриваемая точка поверхности и λ, µ ∈ R. Те же уравнения можно
записать в виде
x − x0 y − y0 z − z0
∂ϕ(a) ∂ψ(a) ∂χ(a)
∂u ∂u ∂u = 0, (37)
∂ϕ(a) ∂ψ(a) ∂χ(a)
∂v ∂v ∂v
или
∂ψ(a) ∂χ(a) ∂χ(a) ∂ψ(a) ∂ϕ(a) ∂χ(a) ∂χ(a) ∂ϕ(a)
− (x − x0 ) − − (y − y0 )+
∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v
∂ϕ(a) ∂ψ(a) ∂ψ(a) ∂ϕ(a)
+ − (z − z0 ). (38)
∂u ∂v ∂u ∂v
Если поверхность задана уравнением (31), то касательная плоскость определяется уравнением
∂F (a) ∂F (a) ∂F (a)
(x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) = 0. (39)
∂x ∂y ∂z
Прямая, перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касанаия, на-
зывается нормалью к поверхности в данной точке. Параметрические уравнения нормали имеют
вид
∂ψ(a) ∂χ(a) ∂χ(a) ∂ψ(a)
x = − ∂v λ + x0 ,
∂u ∂v ∂u
∂ϕ(a) ∂χ(a) ∂χ(a) ∂ϕ(a)
y= − ∂u ∂v λ + y0 , (40)
∂u ∂v
z = ∂ϕ(a) ∂ψ(a) ∂ψ(a) ∂ϕ(a)
∂v − ∂u λ + z0 ,
∂u ∂v
λ ∈ R, или
∂F (a) ∂F (a) ∂F (a)
x= λ + x0 , x= λ + y0 , x= λ + z0 . (41)
∂x ∂y ∂z
Пример 19. Если S — сфера, заданная уравнением (32), то
x0 x + y0 y + z0 z = R2
— уравнение касательной плоскости, а
x = x0 (2λ + 1), y = y0 (2λ + 1), z = x0 (2λ + 1)
— уравнение нормали, проходящих через точку (x0 , y0 , z0 ) ∈ S.
Сечения и линии уровня. Пусть поверхность S задана параметрическими уравнениями (34)
и
u = u(t), v = v(t), t ∈ [t0 , t1 ],
— кривая в плоскости параметров (u, v). Тогда в пространстве R3 возникает кривая
x = ϕ(u(t), v(t)) = x(t), y = ψ(u(t), v(t)) = y(t), z = χ(u(t), v(t)) = z(t),
целиком лежащая на поверхности S.
Частным случаем таких кривых являются сечения. Пусть a ∈ S — точка рассматриваемой
поверхности, в некоторой окрестности которой матрица
2 2 2
∂ x ∂ x ∂ x
2 ∂u∂v 2
∂u
∂2y ∂2y
∂v
∂2y
∂u 2 ∂u∂v ∂v 2
∂2z ∂2z ∂2z
∂u2 ∂u∂v ∂v2
отлична от нулевой, и P — плоскость, проходящая через эту точку. Тогда пересечение S∩P являет-
ся плоской кривой, которая называется сечением поверхности S плоскостью P . Если поверхность
задана уравнением z = f (x, y), то её сечения плоскостями z = c, где c — число, называются
линиями уровня.
Пример 20. Любое сечение сферы — это окружность.
