Функции многих переменных. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 15
Ориентируемость. В дальнейшем нам понадобится важная характеристика поверхностей, на-
зываемая ориентируемостью.
Пусть a ∈ S — точка поверхности. Кривая
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [t
0
, t
1
],
лежащая на этой поверхности и такая, что
a = (x(t
0
), y(t
0
), z(t
0
)) = (x(t
1
), y(t
1
), z(t
1
)),
называется замкнутой
1
.
Предположим, что все точки поверхности неособые. Тогда в каждой точке определена нормаль
и можно рассмотреть единичный вектор, приложенный к рассматриваемой точке и направленный
вдоль нормали. Таких векторов два. Рассмотрим в некоторой точке a ∈ S замкнутую кривую,
лежащую на поверхности, начинающуюся и заканчивающуюся в этой точке, и выберем один
из единичных нормальных векторов, приложенных к данной точке. Будем двигать это вектор
вдоль выбранной кривой так, чтобы он непрерывно зависел от точки (т.е. чтобы его координаты
непрерывно зависели от координат точки) и оставался нормальным. Поскольку кривая замкнута,
при t = t
1
мы вернёмся в исходную точку. При этом возможны два случая:
1) вектор нормали, который мы двигали вдоль кривой вернётся в исходное положение;
2) вектор нормали при возвращении в исходную точку совпадёт с противоположным тому, с
которого мы начинали.
Если для любой точки поверхности и для любой замкнутой кривой возможен только случай 1,
то поверхность называется ориентируемой, а выбор одного из единичных векторов нормали в
какой-нибудь из её точек — ориентацией этой поверхности. Если хотя бы для одной из точек
и одной из петель, проходящих через эту точку, реализуется случай 2, поверхность называется
неориентируемой.
Пример 21 (лист Мёбиуса). Возьмите длинную полоску бумаги и склейте её концы так, чтобы
один из них повернулся относительно другого на 180
◦
. Легко убедиться, что полученная поверх-
ность неориентирума. Она называется листом Мёбиуса.
Поверхности второго порядка. Простейшими поверхностями (кроме, разумеется, плоскости)
являются поверхности второго порядка.
Определение 19. Множество точек пространства, задаваемое уравнением
a
11
x
2
+ 2a
12
xy + 2a
13
xz + a
22
y
2
+ 2a
23
yz + a
33
z
2
+ 2b
1
x + 2b
2
y + 2b
3
z + c = 0, (42)
где ходя бы одно из чисел a
ij
, 1 6 i 6 j 6 3, отлично от нуля, называется поверхностью второго
порядка.
Как и в случае кривых второго порядка, тип любой поверхности второго порядка определяется
инвариантами её характеристических матриц
A =
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
,
a
11
a
12
a
13
b
1
a
12
a
22
a
23
b
2
a
13
a
23
a
33
b
3
b
1
b
2
b
3
c
и любое уравнение (42) заменами координат можно привести к каноническому виду. Существует
семнадцать типов поверхностей второго порядка. Приведём их список вместе с соответствующими
каноническими уравнениями.
Эллипсоиды: Есть два типа эллипсоидов.
1
Замкнутая кривая называется также контуром или петлёй.
                                    ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ                                           15

Ориентируемость. В дальнейшем нам понадобится важная характеристика поверхностей, на-
зываемая ориентируемостью.
  Пусть a ∈ S — точка поверхности. Кривая
                            x = x(t),     y = y(t),     z = z(t),        t ∈ [t0 , t1 ],
лежащая на этой поверхности и такая, что
                             a = (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) = (x(t1 ), y(t1 ), z(t1 )),
называется замкнутой 1.
  Предположим, что все точки поверхности неособые. Тогда в каждой точке определена нормаль
и можно рассмотреть единичный вектор, приложенный к рассматриваемой точке и направленный
вдоль нормали. Таких векторов два. Рассмотрим в некоторой точке a ∈ S замкнутую кривую,
лежащую на поверхности, начинающуюся и заканчивающуюся в этой точке, и выберем один
из единичных нормальных векторов, приложенных к данной точке. Будем двигать это вектор
вдоль выбранной кривой так, чтобы он непрерывно зависел от точки (т.е. чтобы его координаты
непрерывно зависели от координат точки) и оставался нормальным. Поскольку кривая замкнута,
при t = t1 мы вернёмся в исходную точку. При этом возможны два случая:
   1) вектор нормали, который мы двигали вдоль кривой вернётся в исходное положение;
   2) вектор нормали при возвращении в исходную точку совпадёт с противоположным тому, с
      которого мы начинали.
Если для любой точки поверхности и для любой замкнутой кривой возможен только случай 1,
то поверхность называется ориентируемой, а выбор одного из единичных векторов нормали в
какой-нибудь из её точек — ориентацией этой поверхности. Если хотя бы для одной из точек
и одной из петель, проходящих через эту точку, реализуется случай 2, поверхность называется
неориентируемой.
  Пример 21 (лист Мёбиуса). Возьмите длинную полоску бумаги и склейте её концы так, чтобы
один из них повернулся относительно другого на 180◦ . Легко убедиться, что полученная поверх-
ность неориентирума. Она называется листом Мёбиуса.

Поверхности второго порядка. Простейшими поверхностями (кроме, разумеется, плоскости)
являются поверхности второго порядка.
  Определение 19. Множество точек пространства, задаваемое уравнением
          a11 x2 + 2a12 xy + 2a13 xz + a22 y 2 + 2a23 yz + a33 z 2 + 2b1 x + 2b2 y + 2b3 z + c = 0,   (42)
где ходя бы одно из чисел aij , 1 6 i 6 j 6 3, отлично от нуля, называется поверхностью второго
порядка.
  Как и в случае кривых второго порядка, тип любой поверхности второго порядка определяется
инвариантами её характеристических матриц
                                                                 
                                                a11 a12 a13 b1
                             a11 a12 a13        a12 a22 a23 b2 
                       A = a12 a22 a23  ,     
                                                a13 a23 a33 b3 
                                                                  
                             a13 a23 a33
                                                   b1 b2 b3 c
и любое уравнение (42) заменами координат можно привести к каноническому виду. Существует
семнадцать типов поверхностей второго порядка. Приведём их список вместе с соответствующими
каноническими уравнениями.
   Эллипсоиды: Есть два типа эллипсоидов.

  1Замкнутая кривая называется также контуром или петлёй.

Страницы