Функции многих переменных. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 13
1) если ∆
H(f)
> 0 и tr
H(f)
< 0, то функция достигает максимума в точке x;
2) если ∆
H(f)
> 0 и tr
H(f)
> 0, то функция достигает минимума в точке x;
3) если ∆
H(f)
< 0, то экстремума нет (при равенстве tr H
f
= 0 имеет место седло).
Если в стационарной точке определитель гессиана обращается в нуль, то для выяснения того,
является ли эта точка экстремальной, нужно привлекать более тонкие критерии, рассмотрение
которых входит за рамки настоящего текста.
4. Поверхности
Так же как кривые обобщают понятие графика функции одного аргумента, понятие поверхно-
сти является обобщением понятия графика функции двух аргументов.
Определение 18. Множество точек S трёхмерного пространства, координаты которых удо-
влетворяют уравнению
F (x, y, z) = 0, (31)
называются поверхностью, если в каждой точке множества S хотя бы одна из частных производ-
ных
∂F
∂x
,
∂F
∂y
,
∂F
∂z
отлична от нуля.
Пример 18. Множество точек, задаваемых уравнением
x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
, (32)
является сферой радиуса R с центром в начале координат.
Из теоремы 2 о неявной функции следует, что в окрестности каждой точки, лежащей на поверх-
ности, уравнение (31) можно разрешить относительно хотя бы одной из неизвестных, т.е. пред-
ставить её в одном из видов
x = g(y, z), y = h(x, z), z = f(x, y), (33)
т.е. в виде графика функции.
Замечание 5. Представление (33), вообще говоря, возможно именно в некоторой окрестно-
сти, и оно может меняться при переходе от точки к точке. Например, при z > 0 сферу можно
представить в виде
z =
p
x
2
+ y
2
,
но при z < 0 такое представление уже не имеет места.
Обобщением представления (33) является задание поверх ностей в виде
x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v), (34)
где точка (u, v) ∈ R
2
принадлежит некоторой открытой области плоскости. При этом мы будем
считать, что функции ϕ, ψ и χ дифференцируемы. Точка, лежащая на поверхности, называется
неособой (или точкой общего положения), если векторы
U =
∂ϕ
∂u
,
∂ψ
∂u
,
∂χ
∂u
, V =
∂ϕ
∂v
,
∂ψ
∂v
,
∂χ
∂v
(35)
линейно независимы в этой точке.
В каждой точке общего положения векторы (35) определяют плоскость, которая называется
касательной плоскостью к поверхности в рассматриваемой точке. Из определения касательной
плоскости немедленно следует, что её параметрические уравнения имеют вид
x =
∂ϕ(a)
∂u
λ +
∂ϕ(a)
∂v
µ + x
0
, y =
∂ψ(a)
∂u
λ +
∂ψ(a)
∂v
µ + y
0
, z =
∂χ(a)
∂u
λ +
∂χ(a)
∂v
µ + z
0
, (36)
                                  ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ                                          13

   1) если ∆H(f ) > 0 и trH(f ) < 0, то функция достигает максимума в точке x;
   2) если ∆H(f ) > 0 и trH(f ) > 0, то функция достигает минимума в точке x;
   3) если ∆H(f ) < 0, то экстремума нет (при равенстве tr Hf = 0 имеет место седло).
  Если в стационарной точке определитель гессиана обращается в нуль, то для выяснения того,
является ли эта точка экстремальной, нужно привлекать более тонкие критерии, рассмотрение
которых входит за рамки настоящего текста.


  4. Поверхности
  Так же как кривые обобщают понятие графика функции одного аргумента, понятие поверхно-
сти является обобщением понятия графика функции двух аргументов.
  Определение 18. Множество точек S трёхмерного пространства, координаты которых удо-
влетворяют уравнению
                                   F (x, y, z) = 0,                              (31)
называются поверхностью, если в каждой точке множества S хотя бы одна из частных производ-
ных ∂F   ∂F ∂F
    ∂x , ∂y , ∂z отлична от нуля.

  Пример 18. Множество точек, задаваемых уравнением
                                          x2 + y 2 + z 2 = R2 ,                                    (32)
является сферой радиуса R с центром в начале координат.
  Из теоремы 2 о неявной функции следует, что в окрестности каждой точки, лежащей на поверх-
ности, уравнение (31) можно разрешить относительно хотя бы одной из неизвестных, т.е. пред-
ставить её в одном из видов
                               x = g(y, z),   y = h(x, z),   z = f (x, y),                         (33)
т.е. в виде графика функции.
  Замечание 5. Представление (33), вообще говоря, возможно именно в некоторой окрестно-
сти, и оно может меняться при переходе от точки к точке. Например, при z > 0 сферу можно
представить в виде
                                          p
                                      z = x2 + y 2 ,
но при z < 0 такое представление уже не имеет места.
  Обобщением представления (33) является задание поверхностей в виде
                             x = ϕ(u, v),     y = ψ(u, v),    z = χ(u, v),                         (34)
где точка (u, v) ∈ R2 принадлежит некоторой открытой области плоскости. При этом мы будем
считать, что функции ϕ, ψ и χ дифференцируемы. Точка, лежащая на поверхности, называется
неособой (или точкой общего положения), если векторы
                               ∂ϕ ∂ψ ∂χ             ∂ϕ ∂ψ ∂χ 
                          U=       ,   ,    ,   V =      ,   ,                        (35)
                                ∂u ∂u ∂u               ∂v ∂v ∂v
линейно независимы в этой точке.
  В каждой точке общего положения векторы (35) определяют плоскость, которая называется
касательной плоскостью к поверхности в рассматриваемой точке. Из определения касательной
плоскости немедленно следует, что её параметрические уравнения имеют вид
        ∂ϕ(a)    ∂ϕ(a)                  ∂ψ(a)    ∂ψ(a)                   ∂χ(a)    ∂χ(a)
   x=         λ+       µ + x0 ,    y=         λ+       µ + y0 ,     z=         λ+       µ + z0 ,   (36)
         ∂u       ∂v                     ∂u       ∂v                      ∂u       ∂v

Страницы