Функции многих переменных. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 9
В итоге мы получим
df =
∂f
∂x
1
∂ϕ
1
∂t
1
dt
1
+ ··· +
∂ϕ
1
∂t
m
dt
m
+ ··· +
∂f
∂x
n
∂ϕ
n
∂t
1
dt
1
+ ··· +
∂ϕ
n
∂t
m
dt
m
=
=
∂f
∂x
1
∂ϕ
1
∂t
1
+ ··· +
∂f
∂x
n
∂ϕ
n
∂t
1
dt
1
+ ··· +
∂f
∂x
1
∂ϕ
1
∂t
m
+ ··· +
∂f
∂x
n
∂ϕ
n
∂t
m
dt
m
. (21)
Однако в силу теоремы 6 (равенства (4)) правая часть равенств (21) совпадает с правой частью
равенств (18). Иначе говоря, оба способа вычисления дифференциала приводят к одному и тому
же результату. Это свойство дифференциала называется его инвариантностью.
Следствиями инвариантности дифференциала являются формулы для дифференциалов эле-
ментарных арифметических выражений:
d(cf) = c df, (22)
d(f ± g) = df ± dg, (23)
d(fg) = f dg + g df, (24)
d
f
g
=
g df − f dg
g
2
, (25)
где c — постоянная, а f и g — функции произвольного (и, возможно, различного) числа аргумен-
тов.
Дифференциал и приближённые вычисления. Формула (18) для диффренциала функции,
а также его инвариантность позволяют решить вполне практическую задачу об оценке погреш-
ности различных вычислений.
Пример 11. Погрешность измерения линейных размеров комнаты составляет 5%. Какова по-
грешность вычисления её площади и объёма?
Пример 12. Погрешность измерения сторон прямоугольного треугольника равна 10%. Какова
погрешность вычисления его гипотенузы?
Пример 13. Погрешность измерения длины пути составляет 5%, а времени — 1%. Какова по-
грешность вычисления скорости?
Прежде чем ответить на эти вопросы, напомним определения.
Определение 15. Пусть a — точное значение некоторой величины и a
∗
— его приближённая
оценка (полученная прямым измерением или вычислением). Тогда величины
|a − a
∗
|,
|a − a
∗
|
|a
∗
|
(26)
называются соответственно абсолютной и относительной погрешностями оценки.
Пусть теперь a зависит от некоторых параметров p
1
, . . . , p
n
и известны отклонения ∆p
1
, . . . , ∆p
n
оценки каждого из параметров от точных значений. Тогда, если предположить, что функция a =
a(p
1
, . . . , p
n
), описывающая зависимость рассматриваемой величины от параметров, является диф-
ференцируемой, имеет место приближённое равество
∆a ∼
∂a
∂p
1
∆p
1
+ ··· +
∂a
∂p
n
∆p
n
,
из которого, при «небольших» значениях отклонений ∆p
i
следует неравенство
|∆a| 6
∂a
∂p
1
|∆p
1
| + ··· +
∂a
∂p
n
|∆p
n
|.
Обозначая через δ максимальное значение абсолютной погрешности, мы приходим к равенству
δa =
∂a
∂p
1
δp
1
+ ··· +
∂a
∂p
n
δp
n
, (27)
                                   ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ                                           9

В итоге мы получим
       ∂f  ∂ϕ1               ∂ϕ1              ∂f  ∂ϕn                 ∂ϕn    
  df =          dt1 + · · · +     dtm + · · · +            dt1 + · · · +     dtm =
       ∂x1 ∂t1                ∂tm               ∂xn ∂t1                  ∂tm
                      ∂f ∂ϕ              ∂f ∂ϕn                  ∂f ∂ϕ1          ∂f ∂ϕn 
                                1
                   =              + ··· +           dt1 + · · · +           + ··· +          dtm . (21)
                       ∂x1 ∂t1            ∂xn ∂t1                   ∂x1 ∂tm         ∂xn ∂tm
Однако в силу теоремы 6 (равенства (4)) правая часть равенств (21) совпадает с правой частью
равенств (18). Иначе говоря, оба способа вычисления дифференциала приводят к одному и тому
же результату. Это свойство дифференциала называется его инвариантностью.
   Следствиями инвариантности дифференциала являются формулы для дифференциалов эле-
ментарных арифметических выражений:
                                         d(cf ) = c df,                                             (22)
                                         d(f ± g) = df ± dg,                                        (23)
                                     d(f g) = f dg + g df,                              (24)
                                       f  g df − f dg
                                     d      =              ,                            (25)
                                        g          g2
где c — постоянная, а f и g — функции произвольного (и, возможно, различного) числа аргумен-
тов.
Дифференциал и приближённые вычисления. Формула (18) для диффренциала функции,
а также его инвариантность позволяют решить вполне практическую задачу об оценке погреш-
ности различных вычислений.
  Пример 11. Погрешность измерения линейных размеров комнаты составляет 5%. Какова по-
грешность вычисления её площади и объёма?
  Пример 12. Погрешность измерения сторон прямоугольного треугольника равна 10%. Какова
погрешность вычисления его гипотенузы?
  Пример 13. Погрешность измерения длины пути составляет 5%, а времени — 1%. Какова по-
грешность вычисления скорости?
  Прежде чем ответить на эти вопросы, напомним определения.
  Определение 15. Пусть a — точное значение некоторой величины и a∗ — его приближённая
оценка (полученная прямым измерением или вычислением). Тогда величины
                                             |a − a∗ |
                                         |a − a∗ |,                                                 (26)
                                               |a∗ |
называются соответственно абсолютной и относительной погрешностями оценки.
  Пусть теперь a зависит от некоторых параметров p1 , . . . , pn и известны отклонения ∆p1 , . . . , ∆pn
оценки каждого из параметров от точных значений. Тогда, если предположить, что функция a =
a(p1 , . . . , pn ), описывающая зависимость рассматриваемой величины от параметров, является диф-
ференцируемой, имеет место приближённое равество
                                             ∂a                  ∂a
                                       ∆a ∼      ∆p1 + · · · +       ∆pn ,
                                             ∂p1                 ∂pn
из которого, при «небольших» значениях отклонений ∆pi следует неравенство
                                           ∂a                      ∂a
                                   |∆a| 6       |∆p1 | + · · · +       |∆pn |.
                                           ∂p1                    ∂pn
Обозначая через δ максимальное значение абсолютной погрешности, мы приходим к равенству
                                            ∂a                    ∂a
                                      δa =       δp1 + · · · +        δpn ,                          (27)
                                            ∂p1                  ∂pn

Страницы