Функции многих переменных. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 5
Определение 10. Область D ⊂ R
n
называется ограниченной, если сущ ествует шар, целиком
её содержащий: D ⊂ B
n
(x, r).
Теорема 4 (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция u = f (x
1
, . . . , x
n
) определена и
непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она ограничена сверх у и снизу в этой
области, т.е. су ществуют такие числа m и M, что
m 6 f (x) 6 M
для любой точки x ∈ D.
Теорема 5 (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция u = f (x
1
, . . . , x
n
) определена и
непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда в этой области она достигает своих
точных верхней и нижней граней.
2. Дифференцируемость
Пусть функция u = f(x
1
, . . . , x
n
) определена в некоторой открытой области и x = (x
1
, . . . , x
n
) —
точка этой области. Рассмотрим такое приращение ∆x переменной x
i
, что точки с координатами
x
1
, . . . , x
i−1
, x
i
+ ∆x, x
i+1
, . . . , x
n
по-прежнему лежат в этой области. Положим
∆
i
f = f(x
1
, . . . , x
i−1
, x
i
+ ∆x, x
i+1
, . . . , x
n
) −f (x
1
, . . . , x
i−1
, x
i
, x
i+1
, . . . , x
n
).
Определение 11. Предел (если он существует)
∂f
∂x
i
= lim
∆x→0
∆
i
f
∆x
называется i-ой частной производной функции f (или частной производной по переменной x
i
).
Пример 9. Пусть r =
p
x
2
+ y
2
. Тогда
∂r
∂x
=
x
p
x
2
+ y
2
,
∂r
∂y
=
y
p
x
2
+ y
2
.
Если ϕ = arctg
y
x
, то
∂ϕ
∂x
= −
y
x
2
+ y
2
,
∂ϕ
∂y
=
x
x
2
+ y
2
.
Важное свойство частных производных, которое неоднократно будет использоваться в даль-
нейшем, связано с дифференцированием суперпозиций (см. определение 9).
Теорема 6 (производная сложной функции). Рассмотрим функцию u = f (x
1
, . . . , x
n
), завися-
щую от переменных x
1
, . . . , x
n
, и пусть
x
1
= ϕ
1
(t
1
, . . . , t
k
), . . . , x
n
= ϕ
n
(t
1
, . . . , t
k
). (3)
Предположим, что существуют все частные производные
∂f
∂x
1
, . . . ,
∂f
∂x
n
,
и
∂ϕ
1
∂t
1
, . . . ,
∂ϕ
1
∂t
k
,
∂ϕ
2
∂t
1
, . . . ,
∂ϕ
j
∂t
i
, . . . ,
∂ϕ
n
∂t
k
.
                                           ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ                                                          5

   Определение 10. Область D ⊂ Rn называется ограниченной, если существует шар, целиком
её содержащий: D ⊂ B n (x, r).

  Теорема 4 (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция u = f (x1 , . . . , xn ) определена и
непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она ограничена сверху и снизу в этой
области, т.е. существуют такие числа m и M , что
                                                        m 6 f (x) 6 M
для любой точки x ∈ D.

  Теорема 5 (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция u = f (x1 , . . . , xn ) определена и
непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда в этой области она достигает своих
точных верхней и нижней граней.


    2. Дифференцируемость
  Пусть функция u = f (x1 , . . . , xn ) определена в некоторой открытой области и x = (x1 , . . . , xn ) —
точка этой области. Рассмотрим такое приращение ∆x переменной xi , что точки с координатами
                                           x1 , . . . , xi−1 , xi + ∆x, xi+1 , . . . , xn
по-прежнему лежат в этой области. Положим
            ∆i f = f (x1 , . . . , xi−1 , xi + ∆x, xi+1 , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xi−1 , xi , xi+1 , . . . , xn ).

    Определение 11. Предел (если он существует)
                                                       ∂f       ∆i f
                                                          = lim
                                                       ∂xi ∆x→0 ∆x
называется i-ой частной производной функции f (или частной производной по переменной xi ).
                       p
  Пример 9. Пусть r = x2 + y 2 . Тогда
                                       ∂r      x                       ∂r      y
                                          =p          ,                   =p          .
                                       ∂x    x2 + y 2                  ∂y    x2 + y 2
Если ϕ = arctg xy , то
                                         ∂ϕ      y                      ∂ϕ     x
                                            =− 2     ,                     = 2     .
                                         ∂x   x + y2                    ∂y  x + y2
  Важное свойство частных производных, которое неоднократно будет использоваться в даль-
нейшем, связано с дифференцированием суперпозиций (см. определение 9).

  Теорема 6 (производная сложной функции). Рассмотрим функцию u = f (x1 , . . . , xn ), завися-
щую от переменных x1 , . . . , xn , и пусть
                                    x1 = ϕ1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xn = ϕn (t1 , . . . , tk ).                         (3)
Предположим, что существуют все частные производные
                                                         ∂f        ∂f
                                                             ,...,     ,
                                                         ∂x1       ∂xn
и
                                       ∂ϕ1       ∂ϕ1 ∂ϕ2       ∂ϕj       ∂ϕn
                                           ,...,    ,    ,...,     ,...,     .
                                       ∂t1       ∂tk ∂t1       ∂ti       ∂tk

Страницы