ВУЗ:
Рубрика:
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3
Определение 7. Рассмотрим функцию u = f (x
1
, . . . , x
n
) с областью определения D ⊂ R
n
.
Пусть точка a принадлежит замыканию множества D. Говорят, что число A является пределом
функции f в точке a (и пишут A = lim
x→a
f(x)), если для любого числа ε > 0 найдётся такое
число δ > 0, что для любой точки x ∈ D ∩ B
n
(a, r) выполнено неравенство
|f(x) − A| < ε,
если r < δ.
Аналогично определяются бесконечные пределы. Например, lim
x→a
f(x) = +∞, если для любого
числа A найдётся такое число δ > 0, что для любого открытого шара с центром в точке a и
радиуса r < δ будет выполняться неравенство
f(x) > A, ∀x ∈ D ∩ B
n
(a, r).
Так же, как и в случае функций одного аргумента, определяется предел функций нескольких
переменных при x → ∞.
Для функций многих переменных справедливы те же теоремы о пределах суммы, разности,
произведения и частного.
Пример 5.
lim
x→0
x
3
1
x
2
x
2
1
+ x
2
2
= 0.
Пример 6. Если «совсем немного» изменить функцию из предыдущего примера и положить
u =
x
1
x
2
x
2
1
+ x
2
2
,
то предел lim
x→0
f(x) уже не будет существовать.
Вычислять пределы функций многих переменных, пользуясь только их определением, как пра-
вило, чрезвычайно трудно. Мощным и эффективным инструментом вычисления таких пределов
является формулируемая ниже теорема 1. Суть её такова (для простоты мы рассмотрим случай
двух переменных).
Предположим, нам нужно вычислить предел lim
x→a
f(x
1
, x
2
) и точка a имеет координаты (a
1
, a
2
).
Стремление точки x к a означает, что x
1
→ a
1
и x
2
→ a
2
, и можно попытаться сделать следу-
ющее. Зафиксируем какое-нибудь значение переменной x
2
и рассмотрим предел lim
x
1
→a
1
f(x
1
, x
2
).
Последний, если он существует, является функцией переменной x
2
, и мы можем рассмотреть так
называемый двойной предел lim
x
2
→a
2
lim
x
1
→a
1
f(x
1
, x
2
). Возникает естественный вопрос: справедливо ли
равенство
lim
x→a
f(x
1
, x
2
) = lim
x
2
→a
2
lim
x
1
→a
1
f(x
1
, x
2
)? (1)
Пример 7. Обратимся к примеру 5:
lim
x
2
→0
lim
x
1
→0
x
3
1
x
2
x
2
1
+ x
2
2
= lim
x
2
→0
0 = 0,
и, значит, равенство (1) выполняется.
Пример 8. Наоборот, в примере 6 это равенство уже не выполняется.
Теорема 1. Пусть:
1) существует (конечный или бесконечный) предел
A = lim
x→a
f(x
1
, x
2
); (2)
2) при любом x
2
существует конечный
простой предел
g(x
2
) = lim
x
1
→a
1
f(x
1
, x
2
).
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3
Определение 7. Рассмотрим функцию u = f (x1 , . . . , xn ) с областью определения D ⊂ Rn .
Пусть точка a принадлежит замыканию множества D. Говорят, что число A является пределом
функции f в точке a (и пишут A = lim f (x)), если для любого числа ε > 0 найдётся такое
x→a
число δ > 0, что для любой точки x ∈ D ∩ B n (a, r) выполнено неравенство
|f (x) − A| < ε,
если r < δ.
Аналогично определяются бесконечные пределы. Например, lim f (x) = +∞, если для любого
x→a
числа A найдётся такое число δ > 0, что для любого открытого шара с центром в точке a и
радиуса r < δ будет выполняться неравенство
f (x) > A, ∀x ∈ D ∩ B n (a, r).
Так же, как и в случае функций одного аргумента, определяется предел функций нескольких
переменных при x → ∞.
Для функций многих переменных справедливы те же теоремы о пределах суммы, разности,
произведения и частного.
Пример 5.
x31 x2
lim = 0.
x→0 x2
1 + x22
Пример 6. Если «совсем немного» изменить функцию из предыдущего примера и положить
x1 x2
u= 2 ,
x1 + x22
то предел lim f (x) уже не будет существовать.
x→0
Вычислять пределы функций многих переменных, пользуясь только их определением, как пра-
вило, чрезвычайно трудно. Мощным и эффективным инструментом вычисления таких пределов
является формулируемая ниже теорема 1. Суть её такова (для простоты мы рассмотрим случай
двух переменных).
Предположим, нам нужно вычислить предел lim f (x1 , x2 ) и точка a имеет координаты (a1 , a2 ).
x→a
Стремление точки x к a означает, что x1 → a1 и x2 → a2 , и можно попытаться сделать следу-
ющее. Зафиксируем какое-нибудь значение переменной x2 и рассмотрим предел lim f (x1 , x2 ).
x1 →a1
Последний, если он существует, является функцией переменной x2 , и мы можем рассмотреть так
называемый двойной предел lim lim f (x1 , x2 ). Возникает естественный вопрос: справедливо ли
x2 →a2 x1 →a1
равенство
lim f (x1 , x2 ) = lim lim f (x1 , x2 )? (1)
x→a x2 →a2 x1 →a1
Пример 7. Обратимся к примеру 5:
x31 x2
lim lim 2 = xlim 0 = 0,
x2 →0 x1 →0 x2
1 + x2 2 →0
и, значит, равенство (1) выполняется.
Пример 8. Наоборот, в примере 6 это равенство уже не выполняется.
Теорема 1. Пусть:
1) существует (конечный или бесконечный) предел
A = lim f (x1 , x2 ); (2)
x→a
2) при любом x2 существует конечный простой предел
g(x2 ) = lim f (x1 , x2 ).
x1 →a1
