Функции многих переменных. - 3 стр.

UptoLike

Рубрика: 

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3
Определение 7. Рассмотрим функцию u = f (x
1
, . . . , x
n
) с областью определения D R
n
.
Пусть точка a принадлежит замыканию множества D. Говорят, что число A является пределом
функции f в точке a пишут A = lim
xa
f(x)), если для любого числа ε > 0 найдётся такое
число δ > 0, что для любой точки x D B
n
(a, r) выполнено неравенство
|f(x) A| < ε,
если r < δ.
Аналогично определяются бесконечные пределы. Например, lim
xa
f(x) = +, если для любого
числа A найдётся такое число δ > 0, что для любого открытого шара с центром в точке a и
радиуса r < δ будет выполняться неравенство
f(x) > A, x D B
n
(a, r).
Так же, как и в случае функций одного аргумента, определяется предел функций нескольких
переменных при x .
Для функций многих переменных справедливы те же теоремы о пределах суммы, разности,
произведения и частного.
Пример 5.
lim
x0
x
3
1
x
2
x
2
1
+ x
2
2
= 0.
Пример 6. Если «совсем немного» изменить функцию из предыдущего примера и положить
u =
x
1
x
2
x
2
1
+ x
2
2
,
то предел lim
x0
f(x) уже не будет существовать.
Вычислять пределы функций многих переменных, пользуясь только их определением, как пра-
вило, чрезвычайно трудно. Мощным и эффективным инструментом вычисления таких пределов
является формулируемая ниже теорема 1. Суть её такова (для простоты мы рассмотрим случай
двух переменных).
Предположим, нам нужно вычислить предел lim
xa
f(x
1
, x
2
) и точка a имеет координаты (a
1
, a
2
).
Стремление точки x к a означает, что x
1
a
1
и x
2
a
2
, и можно попытаться сделать следу-
ющее. Зафиксируем какое-нибудь значение переменной x
2
и рассмотрим предел lim
x
1
a
1
f(x
1
, x
2
).
Последний, если он существует, является функцией переменной x
2
, и мы можем рассмотреть так
называемый двойной предел lim
x
2
a
2
lim
x
1
a
1
f(x
1
, x
2
). Возникает естественный вопрос: справедливо ли
равенство
lim
xa
f(x
1
, x
2
) = lim
x
2
a
2
lim
x
1
a
1
f(x
1
, x
2
)? (1)
Пример 7. Обратимся к примеру 5:
lim
x
2
0
lim
x
1
0
x
3
1
x
2
x
2
1
+ x
2
2
= lim
x
2
0
0 = 0,
и, значит, равенство (1) выполняется.
Пример 8. Наоборот, в примере 6 это равенство уже не выполняется.
Теорема 1. Пусть:
1) существует (конечный или бесконечный) предел
A = lim
xa
f(x
1
, x
2
); (2)
2) при любом x
2
существует конечный
простой предел
g(x
2
) = lim
x
1
a
1
f(x
1
, x
2
).
                                ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ                                       3

  Определение 7. Рассмотрим функцию u = f (x1 , . . . , xn ) с областью определения D ⊂ Rn .
Пусть точка a принадлежит замыканию множества D. Говорят, что число A является пределом
функции f в точке a (и пишут A = lim f (x)), если для любого числа ε > 0 найдётся такое
                                          x→a
число δ > 0, что для любой точки x ∈ D ∩ B n (a, r) выполнено неравенство
                                            |f (x) − A| < ε,
если r < δ.
  Аналогично определяются бесконечные пределы. Например, lim f (x) = +∞, если для любого
                                                         x→a
числа A найдётся такое число δ > 0, что для любого открытого шара с центром в точке a и
радиуса r < δ будет выполняться неравенство
                                f (x) > A,          ∀x ∈ D ∩ B n (a, r).
  Так же, как и в случае функций одного аргумента, определяется предел функций нескольких
переменных при x → ∞.
  Для функций многих переменных справедливы те же теоремы о пределах суммы, разности,
произведения и частного.
  Пример 5.
                                                   x31 x2
                                            lim            = 0.
                                           x→0 x2
                                                1    + x22
  Пример 6. Если «совсем немного» изменить функцию из предыдущего примера и положить
                                           x1 x2
                                      u= 2         ,
                                          x1 + x22
то предел lim f (x) уже не будет существовать.
          x→0

  Вычислять пределы функций многих переменных, пользуясь только их определением, как пра-
вило, чрезвычайно трудно. Мощным и эффективным инструментом вычисления таких пределов
является формулируемая ниже теорема 1. Суть её такова (для простоты мы рассмотрим случай
двух переменных).
  Предположим, нам нужно вычислить предел lim f (x1 , x2 ) и точка a имеет координаты (a1 , a2 ).
                                            x→a
Стремление точки x к a означает, что x1 → a1 и x2 → a2 , и можно попытаться сделать следу-
ющее. Зафиксируем какое-нибудь значение переменной x2 и рассмотрим предел lim f (x1 , x2 ).
                                                                                  x1 →a1
Последний, если он существует, является функцией переменной x2 , и мы можем рассмотреть так
называемый двойной предел lim lim f (x1 , x2 ). Возникает естественный вопрос: справедливо ли
                           x2 →a2 x1 →a1
равенство
                               lim f (x1 , x2 ) = lim lim f (x1 , x2 )?                    (1)
                               x→a                 x2 →a2 x1 →a1

  Пример 7. Обратимся к примеру 5:
                                              x31 x2 
                             lim lim                 2 = xlim  0 = 0,
                                x2 →0   x1 →0 x2
                                               1 + x2      2 →0

и, значит, равенство (1) выполняется.
  Пример 8. Наоборот, в примере 6 это равенство уже не выполняется.
  Теорема 1. Пусть:
   1) существует (конечный или бесконечный) предел
                                          A = lim f (x1 , x2 );                               (2)
                                                  x→a
   2) при любом x2 существует конечный простой предел
                                        g(x2 ) = lim f (x1 , x2 ).
                                                  x1 →a1