Функция нескольких переменных. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

10 §8. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ. çÒÁÄÉÅÎÔ
åÓÌÉ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÐÏ Ó×ÏÅÍÕ ÓÍÙÓÌÕ ÚÁÄÁÎÁ × ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÔÏ
u(M) = u(x, y), Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÐÏÌÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÌÏÓËÉÍ. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ u ÓÌÕÖÁÔ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ (ÌÉÎÉÉ) ÕÒÏ×-
ÎÑ ¡ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ ÔÏÞÅË, × ËÏÔÏÒÙÈ ÓËÁÌÑÒÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÑ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ
ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, Ô. Å. u = const.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ u = x
2
− y
2
.
òÅÛÅÎÉÅ. ìÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ x
2
−y
2
= c, c = const.
ðÒÉ c = 0 ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÁÒÕ ÐÒÑÍÙÈ x
2
−y
2
= 0, Ô. Å. (x −y)(x + y) = 0, Ô.Å.
y = x ÉÌÉ y = −x.
ðÒÉ c 6= 0 ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÇÉÐÅÒÂÏÌ x
2
− y
2
= c.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ u = x + 2y + 3z.
òÅÛÅÎÉÅ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ x + 2y + 3z =
= c, c = const. üÔÏ ¡ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÐÌÏÓËÏÓÔÅÊ.
§8. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ. çÒÁÄÉÅÎÔ
÷ÁÖÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ ÐÏÌÑ × ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ `.
1) ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÍ ÐÌÏÓËÏÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÏÌÅ u = f(x, y). ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎË-
ÃÉÉ u = f(x, y) × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ M (x, y) ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ ×ÅËÔÏÒÁ ` = MM
1
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌ
∂u
∂`
= lim
|MM
1
|→0
f(M
1
) − f(M)
|MM
1
|
.
10                            §8. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ. çÒÁÄÉÅÎÔ

   åÓÌÉ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÐÏ Ó×ÏÅÍÕ ÓÍÙÓÌÕ ÚÁÄÁÎÁ × ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÔÏ
u(M ) = u(x, y), Á ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÐÏÌÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÌÏÓËÉÍ. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ u ÓÌÕÖÁÔ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ (ÌÉÎÉÉ) ÕÒÏ×-
ÎÑ ¡ ÓÏ×ÏËÕÐÎÏÓÔÉ ÔÏÞÅË, × ËÏÔÏÒÙÈ ÓËÁÌÑÒÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÐÏÌÑ ÐÒÉÎÉÍÁÅÔ
ÏÄÎÏ É ÔÏ ÖÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ, Ô. Å. u = const.
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ u = x2 − y 2 .
   òÅÛÅÎÉÅ. ìÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ x2 −y 2 = c, c = const.
   ðÒÉ c = 0 ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÁÒÕ ÐÒÑÍÙÈ x2 − y 2 = 0, Ô. Å. (x − y)(x + y) = 0, Ô.Å.
y = x ÉÌÉ y = −x.
   ðÒÉ c 6= 0 ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÇÉÐÅÒÂÏÌ x2 − y 2 = c.




   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ u = x + 2y + 3z.
   òÅÛÅÎÉÅ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑÍÉ x + 2y + 3z =
= c, c = const. üÔÏ ¡ ÓÅÍÅÊÓÔ×Ï ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÈ ÐÌÏÓËÏÓÔÅÊ.


§8. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ. çÒÁÄÉÅÎÔ

   ÷ÁÖÎÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÏÊ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ ÐÏÌÑ × ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ `.
   1) ðÕÓÔØ ÉÍÅÅÍ ÐÌÏÓËÏÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÏÌÅ u = f (x, y). ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎË-
ÃÉÉ u = f (x, y) × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ M (x, y) ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ ×ÅËÔÏÒÁ ` = M M 1
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌ
                        ∂u          f (M1) − f (M )
                           = lim                    .
                        ∂` |M M1|→0     |M M1 |

Страницы