Функция нескольких переменных. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§7. óËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÏÌÅ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ 9
ôÏÞËÁ = −5 ÌÅÖÉÔ ×ÎÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ [−3, 3], ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÎÁ ÎÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×Á-
ÅÔÓÑ.
÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ z(x) ÎÁ ËÏÎÃÁÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ [−3, 3]:
z
1
(−3) = −31, z
2
(3) = 29.
Â) ÎÁ ÐÁÒÁÂÏÌÅ ACB y = x
2
− 4 :
z = z(x) = x
2
+ 2x ·(x
2
− 4) −10 = 2x
3
+ x
2
− 8x −10 ÐÒÉ x ∈ [−3, 3].
z
0
(x) = 6x
2
+ 2x −8 ⇒ z
0
= 0 ÐÒÉ x
1
= 1, x
2
= −
4
3
.
ôÏÞËÉ
1
É
2
ÌÅÖÁÔ ×ÎÕÔÒÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ [−3, 3].
z
3
(1) = −15; z
4
(−
4
3
) = −
62
27
;
z
5
(−3) = 31; z
6
(3) = 29.
óÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ z ÎÁ ×ÓÅÊ ÇÒÁÎÉÃÅ á÷óá, ÎÁÊÄÅÍ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁ-
ÞÅÎÉÅ ÎÁ ×ÓÅÊ ÇÒÁÎÉÃÅ ËÁË
max{−31, 29, −15, −
62
27
} = 29;
ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÁË
min{−31, 29, −15, −
62
27
} = −31.
3. óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ z ×Ï ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÅ M
0
(0, 0) Ó ÅÅ
ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ É ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÎÁÈÏÄÉÍ:
ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ z × ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ËÁË
max{−10, 29, −31} = 29,
ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÁË
min{−10, 29, −31} = −31.
éÔÁË: z
ÎÁÉÂ
= z(B) = 29; z
ÎÁÉÍ
= z(A) = −31.
§7. óËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÏÌÅ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÓËÁ-
ÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ
åÓÌÉ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÌÉ ÞÁÓÔÉ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÎÏ ÐÏÌÅ ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉ-
ÎÙ. ðÏÌÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÉÌÉ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÈÁÒÁËÔÅ-
ÒÁ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ. úÁÄÁÎÉÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÚÁÄÁÎÉÅÍ
ÓËÁÌÑÒÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÔÏÞËÉ í: u = u(M).
åÓÌÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ××ÅÄÅÎÁ ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÔÏ ÚÁÄÁÎÉÅ
ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ u = u(M) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÚÁÄÁÎÉÀ ÆÕÎËÃÉÉ ÔÒÅÈ ÐÅÒÅÍÅÎ-
ÎÙÈ u = u(x, y, z).
§7. óËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÏÌÅ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ         9

     ôÏÞËÁ = −5 ÌÅÖÉÔ ×ÎÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ [−3, 3], ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÎÁ ÎÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×Á-
ÅÔÓÑ.
     ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ z(x) ÎÁ ËÏÎÃÁÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ [−3, 3]:
     z1 (−3) = −31, z2(3) = 29.
     Â) ÎÁ ÐÁÒÁÂÏÌÅ ACB y = x2 − 4 :
z = z(x) = x2 + 2x · (x2 − 4) − 10 = 2x3 + x2 − 8x − 10 ÐÒÉ x ∈ [−3, 3].
z 0 (x) = 6x2 + 2x − 8 ⇒ z 0 = 0 ÐÒÉ x1 = 1, x2 = − 43 .
     ôÏÞËÉ 1 É 2 ÌÅÖÁÔ ×ÎÕÔÒÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ [−3, 3].
z3 (1) = −15; z4 (− 43 ) = − 27
                             62
                                ;
z5 (−3) = 31; z6 (3) = 29.
     óÏÐÏÓÔÁ×ÌÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ z ÎÁ ×ÓÅÊ ÇÒÁÎÉÃÅ á÷óá, ÎÁÊÄÅÍ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁ-
ÞÅÎÉÅ ÎÁ ×ÓÅÊ ÇÒÁÎÉÃÅ ËÁË
                                            62
                      max{−31, 29, −15, −      } = 29;
                                            27
ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÁË
                                       62
                     min{−31, 29, −15, −  } = −31.
                                       27
  3. óÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ÚÎÁÞÅÎÉÑ z ×Ï ×ÎÕÔÒÅÎÎÅÊ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÅ M 0 (0, 0) Ó ÅÅ
ÎÁÉÂÏÌØÛÉÍ É ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÎÁÈÏÄÉÍ:
  ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ z × ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ËÁË
                          max{−10, 29, −31} = 29,
  ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÁË
                        min{−10, 29, −31} = −31.
  éÔÁË: zÎÁÉÂ = z(B) = 29; zÎÁÉÍ = z(A) = −31.


§7. óËÁÌÑÒÎÏÅ ÐÏÌÅ. ðÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ É ÌÉÎÉÉ ÕÒÏ×ÎÑ ÓËÁ-
    ÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ
   åÓÌÉ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÌÉ ÞÁÓÔÉ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÏ
ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÚÁÄÁÎÏ ÐÏÌÅ ÄÁÎÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉ-
ÎÙ. ðÏÌÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÓËÁÌÑÒÎÙÍ ÉÌÉ ×ÅËÔÏÒÎÙÍ × ÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÏÔ ÈÁÒÁËÔÅ-
ÒÁ ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÙ. úÁÄÁÎÉÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÚÁÄÁÎÉÅÍ
ÓËÁÌÑÒÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÔÏÞËÉ í: u = u(M ).
   åÓÌÉ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å ××ÅÄÅÎÁ ÄÅËÁÒÔÏ×Á ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÔÏ ÚÁÄÁÎÉÅ
ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ u = u(M ) ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÚÁÄÁÎÉÀ ÆÕÎËÃÉÉ ÔÒÅÈ ÐÅÒÅÍÅÎ-
ÎÙÈ u = u(x, y, z).

Страницы