Функция нескольких переменных. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§8. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ. çÒÁÄÉÅÎÔ 11
åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ u = f(x, y) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ M(x, y), ÔÏ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÁÑ × ÄÁÎÎÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ` ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
∂u
∂`
=
∂u
∂x
cos α +
∂u
∂y
cos β, (1)
ÇÄÅ cos α, cos β ¡ ÎÁÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ËÏÓÉÎÕÓÙ ×ÅËÔÏÒÁ ` = {X, Y }, ËÏÔÏÒÙÅ
ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ:
cos α =
X
|`|
; cos β =
Y
|`|
; |`| =
p
X
2
+ Y
2
.
ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ
∂u
∂`
(M) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÆÕÎË-
ÃÉÉ u × ÔÏÞËÅ M ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ ×ÅËÔÏÒÁ `.
2) ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ u = f(x, y, z) ÐÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÁÑ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, Á ÆÏÒÍÕÌÁ (1) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
∂u
∂`
=
∂u
∂x
cos α +
∂u
∂y
cos β +
∂u
∂z
cos γ, (2)
ÇÄÅ cos α, cos β, cos γ ¡ ÎÁÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ËÏÓÉÎÕÓÙ ×ÅËÔÏÒÁ ` = {X, Y, Z},
ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÈÏÄÑÔ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ
cos α =
X
|`|
; cos β =
Y
|`|
; cos γ =
Z
|`|
; |`| =
p
X
2
+ Y
2
+ Z
2
.
3) ðÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ (1) ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ×ÅËÔÏÒÏ×:
∂u
∂`
= (
∂u
∂x
i +
∂u
∂y
j) · (cos α · i + cos β · j).
ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÒÁÄÉÅÎÔÏÍ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
grad u =
∂u
∂x
i +
∂u
∂y
j. (3)
÷ÔÏÒÏÊ ×ÅËÔÏÒ `
0
= cos α · i + cos β · j ¡ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ
`. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
∂u
∂`
= (grad u, `
0
). (4)
÷ ÓÌÕÞÁÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ u = f (x, y, z) ÇÒÁÄÉÅÎÔ
ÆÕÎËÃÉÉ u ÒÁ×ÅÎ
grad u =
∂u
∂x
i +
∂u
∂y
j +
∂u
∂z
k. (5)
ó×ÏÊÓÔ×Á ÇÒÁÄÉÅÎÔÁ:
1. çÒÁÄÉÅÎÔ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎ ÐÏ ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÕÒÏ×ÎÑ (ÉÌÉ Ë ÌÉÎÉÉ
ÕÒÏ×ÎÑ, ÅÓÌÉ ÐÏÌÅ ÐÌÏÓËÏÅ).
§8. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ. çÒÁÄÉÅÎÔ                                11

   åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ u = f (x, y) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ M (x, y), ÔÏ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÁÑ × ÄÁÎÎÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ` ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
                        ∂u ∂u            ∂u
                            =    cos α +    cos β,                   (1)
                        ∂`    ∂x         ∂y
ÇÄÅ cos α, cos β ¡ ÎÁÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ËÏÓÉÎÕÓÙ ×ÅËÔÏÒÁ ` = {X, Y }, ËÏÔÏÒÙÅ
ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ:
                        X         Y         p
                 cos α = ; cos β = ; |`| = X 2 + Y 2 .
                        |`|       |`|
ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ ∂u    ∂`
                                    (M ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓËÏÒÏÓÔØÀ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÆÕÎË-
ÃÉÉ u × ÔÏÞËÅ M ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ ×ÅËÔÏÒÁ `.
   2) ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ u = f (x, y, z) ÐÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÁÑ ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÀ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, Á ÆÏÒÍÕÌÁ (1) ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ:
                      ∂u ∂u             ∂u         ∂u
                         =    cos α +      cos β +    cos γ,            (2)
                      ∂`   ∂x           ∂y         ∂z
ÇÄÅ cos α, cos β, cos γ ¡ ÎÁÐÒÁ×ÌÑÀÝÉÅ ËÏÓÉÎÕÓÙ ×ÅËÔÏÒÁ ` = {X, Y, Z},
ËÏÔÏÒÙÅ ÎÁÈÏÄÑÔ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ
                X            Y               Z          p
        cos α = ; cos β = ; cos γ = ; |`| = X 2 + Y 2 + Z 2.
                |`|          |`|             |`|
   3) ðÒÁ×ÕÀ ÞÁÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ (1) ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ × ×ÉÄÅ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ Ä×ÕÈ ×ÅËÔÏÒÏ×:
                  ∂u    ∂u   ∂u
                     = ( i+      j) · (cos α · i + cos β · j).
                  ∂`    ∂x   ∂y
   ðÅÒ×ÙÊ ÉÚ ÎÉÈ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÒÁÄÉÅÎÔÏÍ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
                                     ∂u     ∂u
                          grad u =      i+       j.                 (3)
                                     ∂x     ∂y
   ÷ÔÏÒÏÊ ×ÅËÔÏÒ `0 = cos α · i + cos β · j ¡ ÅÄÉÎÉÞÎÙÊ ×ÅËÔÏÒ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ
`. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
                            ∂u
                                 = (grad u, `0 ).                       (4)
                            ∂`
   ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÓËÁÌÑÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ u = f (x, y, z) ÇÒÁÄÉÅÎÔ
ÆÕÎËÃÉÉ u ÒÁ×ÅÎ
                                   ∂u      ∂u    ∂u
                       grad u =       i+      j+    k.                  (5)
                                   ∂x      ∂y    ∂z
   ó×ÏÊÓÔ×Á ÇÒÁÄÉÅÎÔÁ:
   1. çÒÁÄÉÅÎÔ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎ ÐÏ ÎÏÒÍÁÌÉ Ë ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÉ ÕÒÏ×ÎÑ (ÉÌÉ Ë ÌÉÎÉÉ
ÕÒÏ×ÎÑ, ÅÓÌÉ ÐÏÌÅ ÐÌÏÓËÏÅ).

Страницы