Функция нескольких переменных. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

8 §6. îÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ
ÏÂÌÁÓÔØ D) ÎÁ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎ-
ÎÏÊ.
îÁÐÏÍÎÉÍ: ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ y = ϕ(x) ÎÁ ÚÁÍËÎÕÔÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ [a, b], ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ
ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ ×ÎÕÔÒÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ [a, b], É ÓÒÁ×ÎÉÔØ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ × ÜÔÉÈ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞËÁÈ É ÎÁ ËÏÎÃÁÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÍÏÖÎÏ
ÎÅ ×ÄÁ×ÁÔØÓÑ × ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ, ÅÓÔØ × ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÉÌÉ
ÎÅÔ).
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ z = x
2
+
+ 2xy − 10 × ÏÂÌÁÓÔÉ D: y > x
2
− 4; y 6 5.
òÅÛÅÎÉÅ.
1. îÁÊÄÅÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ ×ÎÕÔÒÉ ÏÂÌÁÓÔÉ:
∂z
∂x
= 2x + 2y;
∂z
∂y
= 2x.
(
2x + 2y = 0
2x = 0
⇒ x = 0, y = 0.
0
(0, 0) ¡ ËÒÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ, ÌÅÖÁÝÁÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ D; z(0, 0) = −10.
2. îÁÊÄÅÍ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁ-
ÓÔÉ:
Á) ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ AB y = 5, −3 6 x 6 3:
z = z(x) = x
2
+ 2x · (5) − 10 = x
2
+ 10x − 10,
z
0
= 2x + 10, z
0
= 0 ÐÒÉ x = −5.
8                       §6. îÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ

ÏÂÌÁÓÔØ D) ÎÁ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎ-
ÎÏÊ.
   îÁÐÏÍÎÉÍ: ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ y = ϕ(x) ÎÁ ÚÁÍËÎÕÔÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ [a, b], ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ
ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ ×ÎÕÔÒÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ [a, b], É ÓÒÁ×ÎÉÔØ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÚÎÁÞÅÎÉÑ
ÆÕÎËÃÉÉ × ÜÔÉÈ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞËÁÈ É ÎÁ ËÏÎÃÁÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÍÏÖÎÏ
ÎÅ ×ÄÁ×ÁÔØÓÑ × ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÅ, ÅÓÔØ × ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÉÌÉ
ÎÅÔ).
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ z = x 2 +
+ 2xy − 10 × ÏÂÌÁÓÔÉ D: y > x2 − 4; y 6 5.




    òÅÛÅÎÉÅ.
    1. îÁÊÄÅÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ ×ÎÕÔÒÉ ÏÂÌÁÓÔÉ:
                         ∂z             ∂z
                             = 2x + 2y;    = 2x.
                         ∂x             ∂y
                     (
                       2x + 2y = 0
                                     ⇒ x = 0, y = 0.
                       2x = 0
0 (0, 0)¡ ËÒÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÔÏÞËÁ, ÌÅÖÁÝÁÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ D; z(0, 0) = −10.
    2. îÁÊÄÅÍ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁ-
ÓÔÉ:
    Á) ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ AB y = 5, −3 6 x 6 3:
    z = z(x) = x2 + 2x · (5) − 10 = x2 + 10x − 10,
z 0 = 2x + 10, z 0 = 0 ÐÒÉ x = −5.

Страницы