Функция нескольких переменных. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

6 §5. üËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
ÏÛÉÂËÏÊ 0,02, ÞÔÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ × ÐÒÏÃÅÎÔÁÈ
|z
1
− z
2
|
z
1
· 100% =
6, 72 −6, 7
6, 72
· 100% < 0, 3%.
§5. üËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
1. ïËÒÅÓÔÎÏÓÔØÀ ÒÁÄÉÕÓÁ δ (δ-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØÀ) ÔÏÞËÉ
0
(x
0
, y
0
) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË P (x, y), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ
p
(x − x
0
)
2
+ (y −y
0
)
2
< δ,
Ô.Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ ×ÎÕÔÒÉ ËÒÕÇÁ ÒÁÄÉÕÓÁ δ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ
P
0
(x
0
, y
0
).
2. ôÏÞËÁ M
0
(x
0
, y
0
) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ z = f(x, y),
ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ δ-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ, ÞÔÏ f(x
0
, y
0
) > f (x, y) ÄÌÑ
×ÓÅÈ (x, y) ÉÚ ÜÔÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ.
ôÏÞËÁ M
0
(x
0
, y
0
) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÍÉÎÉÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y) ÅÓÌÉ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ δ-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ, ÞÔÏ f (x
0
, y
0
) 6 f (x, y) ÄÌÑ ×ÓÅÈ
ÔÏÞÅË (x, y) ÉÚ ÜÔÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ.
3. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ.
ôÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ
∂z
∂x
É
∂z
∂y
ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ ÉÌÉ ÎÅ ÓÕÝÅ-
ÓÔ×ÕÀÔ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÍÉ. éÚ ÔÅÏÒÉÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ
ÉÍÅÅÔ ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ, ÔÏ ÏÎÉ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞÅË. ïÄ-
ÎÁËÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ. ôÏ ÅÓÔØ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ, ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ.
4. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ.
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÄÏ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ
0
(x
0
, y
0
); ÐÕÓÔØ, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ,
ÔÏÞËÁ M
0
Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, Ô.Å.
∂z
∂x
(M
0
) = 0;
∂z
∂y
(M
0
) = 0
÷ÙÞÉÓÌÉÍ – = AC − B
2
, ÇÄÅ
A =
∂
2
z
∂x
2
(M
0
); B =
∂
2
z
∂x∂y
(M
0
); C =
∂
2
z
∂y
2
(M
0
).
ôÏÇÄÁ:
1) ÅÓÌÉ – > 0, ÔÏ M
0
¡ ÔÏÞËÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ:
Á) ÅÓÌÉ A > 0,ÔÏ M
0
¡ ÔÏÞËÁ ÍÉÎÉÍÕÍÁ;
Â) ÅÓÌÉ < 0, ÔÏ
0
¡ ÔÏÞËÁ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ;
2) ÅÓÌÉ – < 0, ÔÏ × ÔÏÞËÅ
0
ÎÅÔ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ;
6                               §5. üËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.

ÏÛÉÂËÏÊ 0,02, ÞÔÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ × ÐÒÏÃÅÎÔÁÈ
                |z1 − z2 |          6, 72 − 6, 7
                           · 100% =              · 100% < 0, 3%.
                    z1                  6, 72

§5. üËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÉ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
  1. ïËÒÅÓÔÎÏÓÔØÀ ÒÁÄÉÕÓÁ δ (δ-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØÀ) ÔÏÞËÉ 0(x0, y0) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞÅË P (x, y), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Õ
                       p
                          (x − x0)2 + (y − y0 )2 < δ,
Ô.Å. ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ ×ÎÕÔÒÉ ËÒÕÇÁ ÒÁÄÉÕÓÁ δ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ
P0 (x0, y0).
    2. ôÏÞËÁ M0(x0, y0) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y),
ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ δ-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ, ÞÔÏ f (x 0, y0) > f (x, y) ÄÌÑ
×ÓÅÈ (x, y) ÉÚ ÜÔÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ.
    ôÏÞËÁ M0 (x0, y0) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÍÉÎÉÍÕÍÁ ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y) ÅÓÌÉ
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÔÁËÁÑ δ-ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ, ÞÔÏ f (x0, y0 ) 6 f (x, y) ÄÌÑ ×ÓÅÈ
ÔÏÞÅË (x, y) ÉÚ ÜÔÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ.
    3. îÅÏÂÈÏÄÉÍÏÅ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ.
                                            ∂z   ∂z
    ôÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ∂x    É ∂y ÒÁ×ÎÙ ÎÕÌÀ ÉÌÉ ÎÅ ÓÕÝÅ-
ÓÔ×ÕÀÔ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÍÉ. éÚ ÔÅÏÒÉÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ
ÉÍÅÅÔ ÔÏÞËÉ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ, ÔÏ ÏÎÉ ÎÁÈÏÄÑÔÓÑ ÓÒÅÄÉ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÈ ÔÏÞÅË. ïÄ-
ÎÁËÏ ÏÂÒÁÔÎÏÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÎÅ×ÅÒÎÏ. ôÏ ÅÓÔØ ÉÚ ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÔÏÞËÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ, ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÎÁ ÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÏÞËÏÊ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ.
    4. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ.
    ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ ÉÍÅÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÄÏ 2-ÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
×ËÌÀÞÉÔÅÌØÎÏ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ 0 (x0, y0 ); ÐÕÓÔØ, ËÒÏÍÅ ÔÏÇÏ,
ÔÏÞËÁ M0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÒÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, Ô.Å.
                          ∂z            ∂z
                             (M0) = 0;     (M0) = 0
                          ∂x            ∂y
÷ÙÞÉÓÌÉÍ – = AC − B 2 , ÇÄÅ
                 ∂ 2z              ∂ 2z               ∂ 2z
              A=      (M0 );   B=       (M0 );     C = 2 (M0).
                 ∂x2              ∂x∂y                ∂y
ôÏÇÄÁ:
  1) ÅÓÌÉ – > 0, ÔÏ M0 ¡ ÔÏÞËÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ:
    Á) ÅÓÌÉ A > 0,ÔÏ M0 ¡ ÔÏÞËÁ ÍÉÎÉÍÕÍÁ;
    Â) ÅÓÌÉ < 0, ÔÏ 0 ¡ ÔÏÞËÁ ÍÁËÓÉÍÕÍÁ;
  2) ÅÓÌÉ – < 0, ÔÏ × ÔÏÞËÅ 0 ÎÅÔ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ;

Страницы