Функция нескольких переменных. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ. 5
ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ –x. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÞÁÓÔ-
ÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÅÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×. þÁÓÔÎÙÅ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ u ÐÏ x, ÐÏ y, ..., ÐÏ t ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ
d
x
u, d
y
u, ..., d
t
u. éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
d
x
u =
∂u
∂x
dx, d
y
u =
∂u
∂y
dy, ..., d
t
u =
∂u
∂t
dt.
ðÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ u = f(x, y,..., t) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÁÑ
ÞÁÓÔØ ÅÅ ÐÏÌÎÏÇÏ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ –u = f (x+–x, y +–y, ..., t+–t)−f(x, y,..., t),
ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ –x, –y, ..., –t. ðÏÌÎÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ du ÆÕÎËÃÉÉ
u = f (x, y,..., t) ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ ×ÓÅÈ Å¾ ÞÁÓÔÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏ×:
du = d
x
u + d
y
u + ... + d
t
u =
∂u
∂x
dx +
∂u
∂y
dy + ... +
∂u
∂t
dt.
ðÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÙÈ –x, –y, ..., –t ÐÏÌÎÏÅ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÖÎÏ
ÓÏ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÍÁÌÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÊ ÐÏÇÒÅÛÎÏÓÔØÀ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÅÅ ÐÏÌÎÙÍ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ: –u ≈ du. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÏÌÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ ÆÕÎËÃÉÉ
ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÝÅ, ÞÅÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÅÅ ÐÏÌÎÏÇÏ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÕËÁ-
ÚÁÎÎÏÅ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅ-
ÎÉÊ.
ðÒÉÍÅÒ 1. äÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÑ z = xy É Ä×Å ÔÏÞËÉ (2; 3) É (2, 1; 3, 2). ÷ÙÞÉ-
ÓÌÉÔØ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ , ÚÁÍÅÎÉ× ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ÆÕÎË-
ÃÉÉ ÐÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÏÔ ÔÏÞËÉ Ë ÔÏÞËÅ ÷ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ, É ÏÃÅÎÉÔØ
× ÐÒÏÃÅÎÔÁÈ ÐÏÇÒÅÛÎÏÓÔØ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÕÀ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ –z ÎÁ dz.
òÅÛÅÎÉÅ. z(A) = 2 · 3 = 6; z
1
= z(B) = 2, 1 · 3, 2 = 6, 72;
dz =
∂z
∂x
· –x +
∂z
∂y
· –y = 3 · 0, 1 + 2 · 0, 2 = 0, 7, ÇÄÅ
∂z
∂x
= y |
x=2,y=3
= 3;
∂z
∂y
= x |
x=2,y=3
= 2;
–x = 0, 1; –y = 0, 2;
–z = z(B) − z(A) ⇒ z(B) = z(A) + –z.
úÁÍÅÎÑÅÍ –z ÎÁ dz:
z(B) ≈ z(A) + dz = 6 + 0, 7 = 6, 7 = z
2
.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ z(B) ≈ z(A) + dz ÄÁ¾Ô ÏÔ×ÅÔ Ó
§4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.                                    5

ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ –x. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÞÁÓÔ-
ÎÙÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÏ ËÁÖÄÏÍÕ ÉÚ ÅÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×. þÁÓÔÎÙÅ ÄÉÆ-
ÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ u ÐÏ x, ÐÏ y, ..., ÐÏ t ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ
dx u, dy u, ..., dtu. éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ
                         ∂u                ∂u                       ∂u
                dx u =      dx,   dy u =      dy,   ...,   dt u =      dt.
                         ∂x                ∂y                       ∂t
   ðÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ u = f (x, y,..., t) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÇÌÁ×ÎÁÑ
ÞÁÓÔØ ÅÅ ÐÏÌÎÏÇÏ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ –u = f (x + –x, y + –y, ..., t + –t)− f (x, y,..., t),
ÌÉÎÅÊÎÁÑ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ –x, –y, ..., –t. ðÏÌÎÙÊ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌ du ÆÕÎËÃÉÉ
u = f (x, y,..., t) ÒÁ×ÅÎ ÓÕÍÍÅ ×ÓÅÈ Å¾ ÞÁÓÔÎÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏ×:
                                              ∂u      ∂u            ∂u
           du = dx u + dy u + ... + dt u =       dx +    dy + ... +    dt.
                                              ∂x      ∂y            ∂t
ðÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÙÈ –x, –y, ..., –t ÐÏÌÎÏÅ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÏÖÎÏ
ÓÏ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÍÁÌÏÊ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏÊ ÐÏÇÒÅÛÎÏÓÔØÀ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÅÅ ÐÏÌÎÙÍ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ: –u ≈ du. ÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÐÏÌÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÁ ÆÕÎËÃÉÉ
ÚÎÁÞÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÝÅ, ÞÅÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÅÅ ÐÏÌÎÏÇÏ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ. ðÏÜÔÏÍÕ ÕËÁ-
ÚÁÎÎÏÅ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÉÓÐÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÄÌÑ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅ-
ÎÉÊ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. äÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÑ z = xy É Ä×Å ÔÏÞËÉ (2; 3) É (2, 1; 3, 2). ÷ÙÞÉ-
ÓÌÉÔØ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÔÏÞËÅ , ÚÁÍÅÎÉ× ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ ÆÕÎË-
ÃÉÉ ÐÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ ÏÔ ÔÏÞËÉ Ë ÔÏÞËÅ ÷ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ, É ÏÃÅÎÉÔØ
× ÐÒÏÃÅÎÔÁÈ ÐÏÇÒÅÛÎÏÓÔØ, ×ÏÚÎÉËÁÀÝÕÀ ÐÒÉ ÚÁÍÅÎÅ –z ÎÁ dz.
   òÅÛÅÎÉÅ. z(A) = 2 · 3 = 6; z1 = z(B) = 2, 1 · 3, 2 = 6, 72;
                    ∂z        ∂z
             dz =      · –x +    · –y = 3 · 0, 1 + 2 · 0, 2 = 0, 7, ÇÄÅ
                    ∂x        ∂y
                               ∂z
                                   = y |x=2,y=3= 3;
                               ∂x
                               ∂z
                                   = x |x=2,y=3= 2;
                               ∂y
                              –x = 0, 1; –y = 0, 2;
                    –z = z(B) − z(A) ⇒ z(B) = z(A) + –z.

   úÁÍÅÎÑÅÍ –z ÎÁ dz:
                     z(B) ≈ z(A) + dz = 6 + 0, 7 = 6, 7 = z2 .

   óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ z(B) ≈ z(A) + dz ÄÁ¾Ô ÏÔ×ÅÔ Ó

Страницы