Функция нескольких переменных. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§6. îÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ 7
3) ÅÓÌÉ – = 0 ¡ ÓÏÍÎÉÔÅÌØÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ (ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÉÓÓÌÅÄÏ-
×ÁÎÉÅ)
ðÒÉÍÅÒ 1. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ z = x
3
+ 8y
3
− 6xy + 1.
òÅÛÅÎÉÅ.
îÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ:
(
∂z
∂x
= 3x
2
− 6y = 0
∂z
∂y
= 24y
2
− 6x = 0
⇒ M
1
(0, 0), M
2
(1,
1
2
) éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ, ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÊÄ¾Í ×ÔÏÒÙÅ ÞÁÓÔ-
ÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ:
∂
2
z
∂x
2
= 6x;
∂
2
z
∂x∂y
= −6;
∂
2
z
∂y
2
= 48y.
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÔÏÞËÕ M
1
:
Á) A = 6x |
M
1
= 0, B = −6 |
M
1
= −6, C = 48y |
M
1
= 0,
–(M
1
) = A · C − B
2
= 0 · 0 − (−6)
2
= −36 < 0.
÷ ÔÏÞËÅ M
1
ÎÅÔ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ, Ô. Ë. – < 0.
éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÔÏÞËÕ M
2
:
Â) A = 6x |
M
2
= 6, B = −6 |
M
2
= −6, C = 48y |
M
2
= 24.
–(M
2
) = 108 > 0, A > 0, ÚÎÁÞÉÔ, × ÔÏÞËÅ M
2
¡ ÍÉÎÉÍÕÍ.
z
min
= z
1;
1
2
= 0.
§6. îÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ
äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ z = f(x, y) × ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÍÏÖÎÏ ÒÕËÏ×ÏÄ-
ÓÔ×Ï×ÁÔØÓÑ ÐÒÁ×ÉÌÏÍ:
1. îÁÊÔÉ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ ×ÎÕÔÒÉ ÏÂÌÁÓÔÉ D, É ×ÙÞÉÓÌÉÔØ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ × ÜÔÉÈ ÔÏÞËÁÈ (ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÍÏÖÎÏ ÎÅ ×ÄÁ×ÁÔØÓÑ × ÉÓÓÌÅÄÏ-
×ÁÎÉÅ, ÅÓÔØ × ÎÉÈ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÉÌÉ ÎÅÔ);
2. îÁÊÔÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁ-
ÓÔÉ D;
3. éÚ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ × ÐÐ. 1 É 2 ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎËÃÉÉ ×ÙÂÒÁÔØ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É
ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ.
ëÁË ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÔÒÕÄÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÕÎËÔ 2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÁÉÂÏÌØ-
ÛÅÇÏ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ z = f(x, y) ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ D
Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÚÁÄÁÞ (ÐÏ ÞÉÓÌÕ ËÒÉ×ÙÈ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÉÈ
§6. îÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ                            7

  3) ÅÓÌÉ – = 0 ¡ ÓÏÍÎÉÔÅÌØÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ (ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÅ ÉÓÓÌÅÄÏ-
×ÁÎÉÅ)
  ðÒÉÍÅÒ 1. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÆÕÎËÃÉÀ z = x3 + 8y 3 − 6xy + 1.
  òÅÛÅÎÉÅ.
  îÁÈÏÄÉÍ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ:
                       (
                         ∂z     2
                         ∂x = 3x − 6y = 0
                         ∂z
                         ∂y
                            = 24y 2 − 6x = 0

⇒ M1 (0, 0), M2(1, 21 ) éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÜÔÉ ÔÏÞËÉ, ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÊÄ¾Í ×ÔÏÒÙÅ ÞÁÓÔ-
ÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ:

                     ∂ 2z        ∂ 2z        ∂ 2z
                          = 6x;        = −6;      = 48y.
                     ∂x2        ∂x∂y         ∂y 2
  éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÔÏÞËÕ M1 :
  Á) A = 6x |M1 = 0, B = −6 |M1 = −6, C = 48y |M1 = 0,
–(M1) = A · C − B 2 = 0 · 0 − (−6)2 = −36 < 0.
÷ ÔÏÞËÅ M1 ÎÅÔ ÜËÓÔÒÅÍÕÍÁ, Ô. Ë. – < 0.
  éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÔÏÞËÕ M2 :
  Â) A = 6x |M2 = 6, B = −6 |M2 = −6, C = 48y |M2 = 24.
–(M2) = 108 > 0, A > 0, ÚÎÁÞÉÔ, × ÔÏÞËÅ M2 ¡ ÍÉÎÉÍÕÍ.
                                          
                                         1
                            zmin = z 1;      = 0.
                                         2

§6. îÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ
   äÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y) × ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÍÏÖÎÏ ÒÕËÏ×ÏÄ-
ÓÔ×Ï×ÁÔØÓÑ ÐÒÁ×ÉÌÏÍ:
   1. îÁÊÔÉ ËÒÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÔÏÞËÉ, ÌÅÖÁÝÉÅ ×ÎÕÔÒÉ ÏÂÌÁÓÔÉ D, É ×ÙÞÉÓÌÉÔØ
ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ × ÜÔÉÈ ÔÏÞËÁÈ (ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÍÏÖÎÏ ÎÅ ×ÄÁ×ÁÔØÓÑ × ÉÓÓÌÅÄÏ-
×ÁÎÉÅ, ÅÓÔØ × ÎÉÈ ÜËÓÔÒÅÍÕÍ ÉÌÉ ÎÅÔ);
   2. îÁÊÔÉ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁ-
ÓÔÉ D;
   3. éÚ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ × ÐÐ. 1 É 2 ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎËÃÉÉ ×ÙÂÒÁÔØ ÎÁÉÂÏÌØÛÅÅ É
ÎÁÉÍÅÎØÛÅÅ.
   ëÁË ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÔÒÕÄÎÙÍ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÕÎËÔ 2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÎÁÉÂÏÌØ-
ÛÅÇÏ É ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y) ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÏÂÌÁÓÔÉ D
Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ÒÅÛÅÎÉÀ ÎÅÓËÏÌØËÉÈ ÚÁÄÁÞ (ÐÏ ÞÉÓÌÕ ËÒÉ×ÙÈ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÉÈ

Страницы