Функция нескольких переменных. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

4 §4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
òÅÛÅÎÉÅ.
z
0
x
= y cos(xy),
z
0
y
= x cos(xy),
z
00
xx
= (y cos(xy))
0
x
= −y
2
sin(xy),
z
00
xy
= (y cos(xy))
0
y
= cos(xy) − xy sin(xy),
z
00
yx
= (x cos(xy))
0
x
= cos(xy) − xy sin(xy),
z
00
yy
= (x cos(xy))
0
y
= −x
2
sin(xy).
âÒÏÓÁÅÔÓÑ × ÇÌÁÚÁ, ÞÔÏ z
00
xy
= z
00
yx
, Ô. Å. × ¥ÓÍÅÛÁÎÎÙÈ¥ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ
ÐÏÒÑÄÏË ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÉÇÒÁÅÔ ÒÏÌÉ.
ðÒÉÍÅÒ 2. äÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÑ z = e
x
(x cos y − y sin y). äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
∂
2
z
∂x
2
+
∂
2
z
∂y
2
= 0.
òÅÛÅÎÉÅ.
z
0
x
=
∂z
∂x
= e
x
(x cos y − y sin y) + e
x
cos y = e
x
(x cos y − y sin y + cos y),
z
0
y
=
∂z
∂y
= e
x
(−x sin y − sin y − y cos y),
z
00
xx
=
∂
2
z
∂x
2
= e
x
(x cos y − y sin y + cos y) + e
x
cos y =
= e
x
(x cos y − y sin y + 2 cos y),
z
00
yy
=
∂
2
z
∂y
2
= e
x
(−x cos y − cos y − cos y + y sin y) =
= −e
x
(x cos y − y sin y + 2 cos y).
ðÒÉ×ÏÄÑ ÐÏÄÏÂÎÙÅ ÞÌÅÎÙ, ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ
∂
2
z
∂x
2
+
∂
2
z
∂y
2
= 0.
§4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
þÁÓÔÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ u = f(x, y, ..., t) ÐÏ x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÌÁ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ
–
x
u = f (x + –x, y, ..., t) − f(x, y, ..., t),
4                             §4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.

     òÅÛÅÎÉÅ.
                                       zx0 = y cos(xy),
                                       zy0 = x cos(xy),
                             00
                            zxx = (y cos(xy))0x = −y 2 sin(xy),
                        00
                       zxy = (y cos(xy))0y = cos(xy) − xy sin(xy),
                        00
                       zyx = (x cos(xy))0x = cos(xy) − xy sin(xy),
                             00
                            zyy = (x cos(xy))0y = −x2 sin(xy).
                          00    00
  âÒÏÓÁÅÔÓÑ × ÇÌÁÚÁ, ÞÔÏ zxy = zyx , Ô. Å. × ¥ÓÍÅÛÁÎÎÙÈ¥ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ
ÐÏÒÑÄÏË ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÉÇÒÁÅÔ ÒÏÌÉ.
  ðÒÉÍÅÒ 2. äÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÑ z = ex (x cos y − y sin y). äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
                                      ∂ 2z ∂ 2z
                                          +     = 0.
                                      ∂x2 ∂y 2
     òÅÛÅÎÉÅ.
          ∂z
    zx0 =     = ex (x cos y − y sin y) + ex cos y = ex (x cos y − y sin y + cos y),
          ∂x
          ∂z
    zy0 =     = ex (−x sin y − sin y − y cos y),
          ∂y
      00   ∂ 2z
    zxx = 2 = ex (x cos y − y sin y + cos y) + ex cos y =
           ∂x
                                                     = ex (x cos y − y sin y + 2 cos y),
     00    ∂ 2z
    zyy   = 2 = ex (−x cos y − cos y − cos y + y sin y) =
           ∂y
                                                = −ex (x cos y − y sin y + 2 cos y).
     ðÒÉ×ÏÄÑ ÐÏÄÏÂÎÙÅ ÞÌÅÎÙ, ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ
                                      ∂ 2z ∂ 2z
                                          +     = 0.
                                      ∂x2 ∂y 2

§4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
   þÁÓÔÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ u = f (x, y, ..., t) ÐÏ x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÌÁ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ
                        –x u = f (x + –x, y, ..., t) − f (x, y, ..., t),

Страницы