Функция нескольких переменных. - 4 стр.

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4 §4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
òÅÛÅÎÉÅ.
z
0
x
= y cos(xy),
z
0
y
= x cos(xy),
z
00
xx
= (y cos(xy))
0
x
= y
2
sin(xy),
z
00
xy
= (y cos(xy))
0
y
= cos(xy) xy sin(xy),
z
00
yx
= (x cos(xy))
0
x
= cos(xy) xy sin(xy),
z
00
yy
= (x cos(xy))
0
y
= x
2
sin(xy).
âÒÏÓÁÅÔÓÑ × ÇÌÁÚÁ, ÞÔÏ z
00
xy
= z
00
yx
, Ô. Å. × ¥ÓÍÅÛÁÎÎÙÈ¥ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ
ÐÏÒÑÄÏË ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÎÅ ÉÇÒÁÅÔ ÒÏÌÉ.
ðÒÉÍÅÒ 2. äÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÑ z = e
x
(x cos y y sin y). äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ
2
z
x
2
+
2
z
y
2
= 0.
òÅÛÅÎÉÅ.
z
0
x
=
z
x
= e
x
(x cos y y sin y) + e
x
cos y = e
x
(x cos y y sin y + cos y),
z
0
y
=
z
y
= e
x
(x sin y sin y y cos y),
z
00
xx
=
2
z
x
2
= e
x
(x cos y y sin y + cos y) + e
x
cos y =
= e
x
(x cos y y sin y + 2 cos y),
z
00
yy
=
2
z
y
2
= e
x
(x cos y cos y cos y + y sin y) =
= e
x
(x cos y y sin y + 2 cos y).
ðÒÉ×ÏÄÑ ÐÏÄÏÂÎÙÅ ÞÌÅÎÙ, ÕÂÅÖÄÁÅÍÓÑ, ÞÔÏ
2
z
x
2
+
2
z
y
2
= 0.
§4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÙ ÆÕÎËÃÉÉ ÍÎÏÇÉÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ.
þÁÓÔÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ u = f(x, y, ..., t) ÐÏ x ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÌÁ×ÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ
x
u = f (x + x, y, ..., t) f(x, y, ..., t),