Функция нескольких переменных. - 2 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

2 §2. þÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ
§2. þÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ z = f (x, y). åÓÌÉ ÍÙ ÚÁÆÉËÓÉ-
ÒÕÅÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ.
úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ y, ÐÏÌÏÖÉ× y = y
0
. ôÏÇÄÁ z = f(x, y
0
)
ÂÕÄÅÔ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÄÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
× ÔÏÞËÅ x
0
ÉÍÅÅÔ ÏÂÙÞÎÙÊ ÓÍÙÓÌ:
lim
4x→0
f(x
0
+ 4x, y
0
) − f(x
0
, y
0
)
4x
= lim
4x→0
4
x
z
4x
,
ÇÄÅ 4
x
z = f (x
0
+ 4x, y
0
) − f (x
0
, y
0
) É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅÍ
ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y) ÐÏ x. üÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÞÁÓÔÎÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ z = f(x, y) ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x × ÔÏÞËÅ (x
0
, y
0
) É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
f
0
x
(x
0
, y
0
) = z
0
x
(x
0
, y
0
) =
∂f(x
0
, y
0
)
∂x
.
÷ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ x ÉÍÅÅÔ, ×ÏÏÂÝÅ
ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, Ô. Å. ÓÁÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
f
0
x
(x, y) ÉÌÉ z
0
x
(x, y) ÉÌÉ
∂f(x, y)
∂x
ÉÌÉ
∂z
∂x
.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔ ÞÁÓÔÎÏÅ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ É ÞÁÓÔÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏ y:
f
0
y
(x
0
, y
0
) = lim
4y→0
4
y
z
4y
.
óÐÏÓÏÂÙ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÏÔ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ × ÓÌÕÞÁÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. îÕÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÐÏÍÎÉÔØ,
ÞÔÏ ÅÓÌÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ ÞÁÓÔÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏ x, ÔÏ y ÓÌÅÄÕÅÔ
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÐÏÓÔÏÑÎÎÕÀ.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
z = x
2
y
3
+ 4x
3
y
2
+ 5x −4y + 1.
òÅÛÅÎÉÅ.
z
0
x
= 2xy
3
+ 12x
2
y
2
+ 5
z
0
y
= 3x
2
y
2
+ 8x
3
y −4
(ÐÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÐÏ x ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ y ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ, Á ÐÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÐÏ y ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ x).
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
z = (x
2
+ y
2
)e
xy
.
2                                                    §2. þÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ

§2. þÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ
   òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ z = f (x, y). åÓÌÉ ÍÙ ÚÁÆÉËÓÉ-
ÒÕÅÍ ÏÄÎÕ ÉÚ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, ÔÏ ÐÏÌÕÞÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ.
úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÚÎÁÞÅÎÉÅ y, ÐÏÌÏÖÉ× y = y0 . ôÏÇÄÁ z = f (x, y0)
ÂÕÄÅÔ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÏÄÎÏÊ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
× ÔÏÞËÅ x0 ÉÍÅÅÔ ÏÂÙÞÎÙÊ ÓÍÙÓÌ:
                     f (x0 + 4x, y0) − f (x0, y0)       4x z
                 lim                              = lim      ,
                4x→0            4x                 4x→0 4x

ÇÄÅ 4x z = f (x0 + 4x, y0) − f (x0, y0) É ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅÍ
ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y) ÐÏ x. üÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ, ÅÓÌÉ ÏÎ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÞÁÓÔÎÏÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ z = f (x, y) ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x × ÔÏÞËÅ (x 0, y0) É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
                                                      ∂f (x0, y0)
                       fx0 (x0, y0) = zx0 (x0, y0 ) =             .
                                                           ∂x
÷ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞËÁÈ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÞÁÓÔÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏ x ÉÍÅÅÔ, ×ÏÏÂÝÅ
ÇÏ×ÏÒÑ, ÒÁÚÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, Ô. Å. ÓÁÍÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÆÕÎËÃÉÅÊ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ É
ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
                                                     ∂f (x, y)       ∂z
            fx0 (x, y) ÉÌÉ zx0 (x, y) ÉÌÉ                        ÉÌÉ    .
                                                        ∂x           ∂x
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔ ÞÁÓÔÎÏÅ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅ É ÞÁÓÔÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏ y:
                                                      4y z
                                fy0 (x0, y0 ) = lim        .
                                               4y→0 4y

óÐÏÓÏÂÙ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÞÁÓÔÎÙÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÎÅ ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÏÔ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ × ÓÌÕÞÁÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÏÄÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ. îÕÖÎÏ ÔÏÌØËÏ ÐÏÍÎÉÔØ,
ÞÔÏ ÅÓÌÉ, ÎÁÐÒÉÍÅÒ, ÍÙ ÎÁÈÏÄÉÍ ÞÁÓÔÎÕÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏ x, ÔÏ y ÓÌÅÄÕÅÔ
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÐÏÓÔÏÑÎÎÕÀ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
                      z = x2y 3 + 4x3y 2 + 5x − 4y + 1.
    òÅÛÅÎÉÅ.
                          zx0 = 2xy 3 + 12x2y 2 + 5
                           zy0 = 3x2y 2 + 8x3y − 4
(ÐÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÐÏ x ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ y ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ, Á ÐÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎ-
ÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÐÏ y ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ x).
   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ
                             z = (x2 + y 2 )exy .

Страницы