Лекции по теории информации. Фурсов В.А. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

139
При этом в соответствии с (16.19) получаем
1
1
2 2
1
ln ln 2 det
2
N
T
Q w
с
ξ K ξ K ξ
. (16.21)
Нетрудно заметить, что первое слагаемое в правой части не зависит от искомых
параметров, а второе слагаемое совпадает (16.17). Следовательно, критерий
максимального правдоподобия совпадает с ОМНК при гауссовых помехах.
16.6 Оптимальность оценок МНК
и максимального правдоподобия
Покажем, что в случае нормального распределения ошибок ОМНК-оценка
и совпадающая с ней оценка максимального правдоподобия оптимальны в
смысле минимума дисперсии. Для этого достаточно показать, что ковариаци-
онная матрица ошибок оценивания совпадает с обратной информационной мат-
рицей Фишера.
Выпишем ковариационную матрицу ошибок оценивания. В соответствии с
(16.17) с учетом того, что
ξ Y Xc
, искомая ОМНК-оценка является решени-
ем уравнения
1 1 1 1
1
ˆ
0
T T T T
Q
c c
с ξ K ξ X K ξ X K Y X K Xc ,
т.е.
c RY
, (16.22)
где
1
1 1
T T
R X K X X K
. (16.23)
Подставляя в (16.22)
Y Xc
ξ
из (16.4), с учетом того, что в соответствии с
(16.23)
1
1 1T T
RX X K X X K X E
, имеем
c RXc R
ξ c Rξ
. (16.24)
Теперь, с использованием (16.24) запишем ковариационную матрицу оши-
бок оценивания:
ˆ ˆ ˆ
.
T T
T T T
M M M D c c c c c R
ξ Rξ R ξξ R RKR
Наконец, подставляя в последнее равенство матрицу
R
из (16.23), окончатель-
но получаем

Страницы