Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

f(s) ∈ L
2
P
n
= P
2m+1
: L
2
−→ L({e
irs
}
m
r=−m
) ⊂ L
2
P
n
(f; s) =
m
X
r=−m
c
r
(f) e
irs
, f ∈ L
2
.
P
2
n
= P
n
, P
∗
n
= P
n
, kP
n
k = 1 (n = 0, 1, . . .).
E
n
(f) = E
2m+1
(f)
f ∈ L
2
m (m = 0, 1, . . .) L
2
.
11.3.2.
H = L
2
(ρ; (a, b)) ≡ L
2
(ρ)
ρ = ρ(t) ∈ L
1
(a, b)
(a, b) ⊂ (−∞, ∞)
(f, g) =
b
Z
a
ρ(t)f(t)g(t) dt (f, g ∈ L
2
(ρ)),
kfk =
Ã
b
Z
a
ρ(t)f
2
(t) dt
!
1
2
(f ∈ L
2
(ρ)).
ρ ∈ L
1
(a, b)
{Q
k
(t)}
∞
0
(a, b) ρ(t)
L
2
(ρ)
x
n
(t) = x
m+1
(t) =
m
X
k=0
α
k
Q
k
(t), t ∈ (a, b), n = m + 1 ∈ N,
 òðèãîíîìåòðè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ôóíêöèè f (s) ∈ L2 â êîì-
ïëåêñíîé ôîðìå; â ñèëó (11.8) â íåëèíåéíîì ñëó÷àå âèä ÑÍÀÓ ìåòîäà
ðåäóêöèè î÷åâèäåí.
      ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ

                Pn = P2m+1 : L2 −→ L({eirs }m
                                            r=−m ) ⊂ L2

îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                       m
                                       X
                    Pn (f ; s) =             cr (f ) eirs ,     f ∈ L2 .
                                      r=−m

ßñíî, ÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì

              Pn2 = Pn , Pn∗ = Pn , kPn k = 1 (n = 0, 1, . . .).
Ïîýòîìó äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñõåìû ìåòîäà ðåäóêöèè ñïðàâåäëèâà òåî-
ðåìà 11.3, â êîòîðîé En (f ) = E2m+1 (f )  íàèëó÷øåå ñðåäíåêâàäðàòè÷å-
ñêîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè f ∈ L2 âñåâîçìîæíûìè òðèãîíîìåòðè÷åñêè-
ìè ïîëèíîìàìè ïîðÿäêà íå âûøå m (m = 0, 1, . . .) â ïðîñòðàíñòâå L2 .


     11.3.2. Ìåòîä ðåäóêöèè ïî àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå ôóíêöèé

       Ïóñòü H = L2 (ρ; (a, b)) ≡ L2 (ρ)  âåñîâîå ïðîñòðàíñòâî ñ âåñîì
ρ = ρ(t) ∈ L1 (a, b) êâàäðàòè÷íî ñóììèðóåìûõ ïî Ëåáåãó â îáëàñòè
(a, b) ⊂ (−∞, ∞) âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíè-
åì è íîðìîé ñîîòâåòñòâåííî
                           Zb
                (f, g) =           ρ(t)f (t)g(t) dt (f, g ∈ L2 (ρ)),
                           a
                          ÃZb                      ! 21
                 kf k =             ρ(t)f 2 (t) dt            (f ∈ L2 (ρ)).
                               a
      Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî äëÿ äàííîé âåñîâîé ôóíêöèè ρ ∈ L1 (a, b) ñó-
ùåñòâóåò ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ {Qk (t)}∞
                                                    0 , îðòîãîíàëüíûõ
â ïðîìåæóòêå (a, b) ñ âåñîì ρ(t) . Çà ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(11.1) â ïðîñòðàíñòâå L2 (ρ) âîçüìåì ìíîãî÷ëåí
                               m
                               X
       xn (t) = xm+1 (t) =           αk Qk (t),      t ∈ (a, b), n = m + 1 ∈ N,
                               k=0

Страницы