Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

L
2
x
n
(t) =
n
X
k=1
α
k
ϕ
k
(t), n ∈ N,
α
k
∈ R
n
X
k=1
α
k
Φ
r
(Aϕ
k
) = Φ
r
(y), r = 1, n,
Φ
r
(f) =
1
t
r
− t
r−1
t
r
Z
t
r−1
f(t) dt, f ∈ L
2
;
Φ
r
Ã
A
n
X
k=1
α
k
ϕ
k
!
= Φ
r
(y), r = 1, n.
P
n
: L
2
−→ L({ϕ
r
(t)}
n
1
) ⊂ L
2
P
n
(f; t) =
n
X
r=1
Φ
r
(f) ϕ
r
(t), f ∈ L
2
.
L
2
P
2
n
= P
n
, P
∗
n
= P
n
, kP
n
k = 1 (n ∈ N).
H = L
2
E
n
(f)
f ∈ L
2
11.4.
n ∈ N
(11.8
0
) (11.8),
x
j
n
= x
j−1
n
+
m
M
2
(P
n
y − A
n
x
j−1
n
); j = 1, 2, . . . , (11.12)
Òîãäà ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (11.1) â ïðîñòðàíñòâå L2 ïðèíè-
ìàåò âèä ñïëàéíà íóëåâîé ñòåïåíè
                                    n
                                    X
                        xn (t) =           αk ϕk (t),       n ∈ N,
                                    k=1

êîýôôèöèåíòû αk ∈ R êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ â ëèíåéíîì ñëó÷àå èç
ÑËÀÓ            n  X
                         αk Φr (Aϕk ) = Φr (y),                r = 1, n,
                   k=1
ãäå
                                             Ztr
                               1
                 Φr (f ) =                         f (t) dt,     f ∈ L2 ;
                           tr − tr−1
                                            tr−1
â íåëèíåéíîì ñëó÷àå íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû ñïëàéíà îïðåäåëÿþòñÿ
èç ÑÍÀÓ            Ã n        !
                             X
                 Φr      A         αk ϕk     = Φr (y),          r = 1, n.
                             k=1
     Çäåñü îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ Pn : L2 −→ L({ϕr (t)}n1 ) ⊂ L2 îïðå-
äåëèì ïî ôîðìóëå
                                   n
                                   X
                  Pn (f ; t) =            Φr (f ) ϕr (t),       f ∈ L2 .
                                    r=1

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå L2

               Pn2 = Pn ,     Pn∗ = Pn ,           kPn k = 1 (n ∈ N).
Ïîýòîìó äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çäåñü ñõåìû ïðîåêöèîííîãî ìåòîäà ñïðà-
âåäëèâà òåîðåìà 11.3, â êîòîðîé H = L2 , à En (f )  íàèëó÷øåå ñðåäíå-
êâàäðàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè f ∈ L2 âñåâîçìîæíûìè ñïëàéíà-
ìè íóëåâîé ñòåïåíè ïî ñåòêå óçëîâ (9.11).


               11.4. Ïðîåêöèîííî-èòåðàòèâíûå ìåòîäû

     Ïðè áîëüøèõ n ∈ N ðåøåíèå ïðîåêöèîííîãî óðàâíåíèÿ (11.7), à
ñëåäîâàòåëüíî, è ÑËÀÓ (11.80 ) è òåì áîëåå ÑÍÀÓ (11.8), ïðåäñòàâëÿåò
çíà÷èòåëüíûå ïðàêòè÷åñêèå òðóäíîñòè. Ïîýòîìó åãî áóäåì ðåøàòü óíè-
âåðñàëüíûì èòåðàöèîííûì ìåòîäîì âèäà
                         m
         xjn = xj−1
                n   +      2
                             (Pn y − An xj−1
                                         n );             j = 1, 2, . . . ,   (11.12)
                         M

Страницы