Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

j, n ∈ N x
0
n
H
n
M m
11.1 x
∗
n
∈ H
n
(11.7) H
(11.12) j → ∞ x
0
n
=
m
M
2
P
n
y
kx
∗
n
− x
j
n
k 6
q
j+1
1 − q
m
M
2
kP
n
yk 6
q
j+1
1 − q
m
M
2
kyk (n, j ∈ N), (11.13)
q (11.5).
11.1
x
∗
∈ H (11.1)
x
∗
= lim
n→∞
lim
j→∞
x
j
n
= lim
n→∞
x
∗
n
H
(11.12). x
0
n
=
¡
m/M
2
¢
P
n
y, n, j ∈ N
kx
∗
− x
j
n
k 6
M
m
E
n
(x
∗
) +
q
j+1
1 − q
m
M
2
kP
n
yk 6
M
m
½
E
n
(x
∗
) + q
j+1
kyk
M(1 − q)
¾
,
q (11.5).
[38], [49], [53]),
§ 10,
ãäå j, n ∈ N , x0n  ïðîèçâîëüíîå íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå èç Hn , à ïîñòî-
ÿííûå M è m îïðåäåëåíû â óñëîâèÿõ I è II ñîîòâåòñòâåííî.

     Òåîðåìà 11.4. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 11.1 ðåøåíèå x∗n ∈ Hn óðàâ-
íåíèÿ (11.7) ìîæíî íàéòè êàê ïðåäåë â H èòåðàöèîííîé ïîñëåäîâà-
                                              m
òåëüíîñòè (11.12) ïðè j → ∞ , ïðè÷åì äëÿ x0n = 2 Pn y ñïðàâåäëèâû
                                              M
îöåíêè
                          q j+1 m           q j+1 m
     kx∗n   −   xjn k   6          kPn yk 6          kyk (n, j ∈ N),   (11.13)
                          1 − q M2          1 − q M2
ãäå q îïðåäåëåíî â (11.5).

     Òåîðåìà 11.5. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 11.1 åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
x∗ ∈ H óðàâíåíèÿ (11.1) ìîæíî íàéòè êàê ïðåäåëû

                               x∗ = lim lim xjn = lim x∗n
                                    n→∞ j→∞       n→∞

â ïðîñòðàíñòâå H ïðîåêöèîííî-èòåðàòèâíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
                    ¡     ¢
(11.12). Åñëè x0n = m/M 2 Pn y, òî äëÿ ëþáûõ n, j ∈ N ñïðàâåäëèâû
îöåíêè
                                          ½                          ¾
   ∗    j    M     ∗  q j+1 m           M       ∗      j+1   kyk
kx − xn k 6 En (x ) +          kPn yk 6    En (x ) + q                 ,
             m        1 − q M2          m                  M (1 − q)
ãäå ÷èñëî q îïðåäåëåíî â (11.5).

     Çàìå÷àíèå 11.2.  óñëîâèÿõ çàìå÷àíèÿ 11.1 òåîðåìû 11.311.5
íåñêîëüêî óïðîùàþòñÿ è óñèëèâàþòñÿ.
       Îòìåòèì, ÷òî òåîðåìû 11.111.5 ïîëó÷åíû êàê îáîáùåíèÿ ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ ðàáîò [10], [11], [19], [29], [31], [35][37], à ïðè èõ
äîêàçàòåëüñòâå ñóùåñòâåííûì îáðàçîì èñïîëüçîâàíû íåêîòîðûå ðåçóëü-
òàòû èç ëèíåéíîãî è íåëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà (ñì., íàïð.,
[38], [49], [53]), à òàêæå ðåçóëüòàòû äðóãèõ ïàðàãðàôîâ ýòîé ãëàâû. Îäíàêî
ââèäó èçëèøíåé ãðîìîçäêîñòè âûêëàäîê è èç-çà îãðàíè÷åííîñòè îáúåìà
êíèãè ïîäðîáíûå äîêàçàòåëüñòâà çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ. Òàêîå æå çàìå÷à-
íèå ñïðàâåäëèâî îòíîñèòåëüíî ðåçóëüòàòîâ § 10, à òàêæå ñëåäóþùåé ãëà-
âû. Òåì íå ìåíåå ïðè ÷òåíèè ñïåöêóðñîâ è ïðîâåäåíèè ñïåöñåìèíàðîâ âñå
ðåçóëüòàòû èçëàãàþòñÿ ñ ïîëíûìè äîêàçàòåëüñòâàìè.

Страницы