Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

11.3.
H
{ϕ
r
}
∞
1
⊂ H
H
n
= L({ϕ
r
}
n
1
), n ∈ N
n ∈ N ϕ
r
= ϕ
r,n
(r = 1, n)
n ∈ N
{H
n
}
∞
1
H.
P
n
: H −→ H
n
⊂ H
H H
n
A
n
x
n
≡ P
n
Ax
n
= P
n
y (x
n
, P
n
y ∈ H
n
), (11.7)
c
r
(A
n
X
k=1
α
k
ϕ
k
) = c
r
(y), r = 1, n, α
k
∈ R, (11.8)
n ∈ N c
r
(f) = (f, ϕ
r
)
f ∈ H ϕ
r
∈ H; A
(11.8)
n
X
k=1
α
k
c
r
(Aϕ
k
) = c
r
(y), r = 1, n. (11. 8
0
)
x
∗
n
=
n
X
k=1
α
∗
k
ϕ
k
, n ∈ N, (11. 9)
α
∗
k
= α
∗
k,n
∈ R (k = 1, n)
(11. 8
0
).
11.1
(11.8) (11.8
0
) α
∗
k
, k = 1, n
n ∈ N (11.9)
x
∗
∈ H (11.1) H
x
∗
− x
∗
n
∈ H
             11.3. Îáùèé ïðîåêöèîííûé ìåòîä è åãî ÷àñòíûå ñëó÷àè
       Ïóñòü H  ñåïàðàáåëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî. Òîãäà â íåì
ñóùåñòâóåò ñ÷åòíàÿ ïîëíàÿ ñèñòåìà ýëåìåíòîâ {ϕr }∞  1 ⊂ H . Îáîçíà÷èì
÷åðåç Hn = L({ϕr }n1 ), n ∈ N , ëèíåéíóþ îáîëî÷êó, íàòÿíóòóþ íà ïåðâûå
n ∈ N ýëåìåíòîâ ýòîé ñèñòåìû; â òîì ñëó÷àå, êîãäà ϕr = ϕr,n (r = 1, n) ,
ò. å. çàâèñèò îò n ∈ N (íàïðèìåð, äëÿ ñïëàéíîâûõ áàçèñîâ), ñ÷èòàåì,
÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâ {Hn }∞  1 ïðåäåëüíî ïëîòíà â ïðî-
ñòðàíñòâå H.
       Îáîçíà÷èì ÷åðåç Pn : H −→ Hn ⊂ H ëèíåéíûé îïåðàòîð îð-
òîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ H íà Hn . Òîãäà óðàâíåíèå (11.1) ìîæíî
àïïðîêñèìèðîâàòü êîíå÷íîìåðíûì óðàâíåíèåì

                     An xn ≡ Pn Axn = Pn y (xn , Pn y ∈ Hn ),                      (11.7)

êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
(êðàòêî: ÑÍÀÓ)
                          n
                          X
                  cr (A         αk ϕk ) = cr (y),           r = 1, n,   αk ∈ R,    (11.8)
                          k=1

ïîðÿäêà n ∈ N , ãäå cr (f ) = (f, ϕr )  êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ýëåìåíòà
f ∈ H ïî ñèñòåìå êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé ϕr ∈ H; åñëè æå A  ëèíåéíûé
îïåðàòîð, òî ÑÍÀÓ (11.8) çíà÷èòåëüíî óïðîùàåòñÿ è ïðèíèìàåò âèä
                          n
                          X
                                αk cr (Aϕk ) = cr (y),           r = 1, n.        (11. 80 )
                          k=1
       Ýëåìåíò                             n
                                           X
                                 x∗n   =         αk∗ ϕk ,     n ∈ N,              (11. 9)
                                           k=1
ïðèíèìàåòñÿ çà ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (11.1),
ãäå αk∗ = αk,n
           ∗
               ∈ R (k = 1, n)  ðåøåíèå ÑÍÀÓ (11. 8) èëè æå ÑËÀÓ
(11. 80 ).

       Òåîðåìà 11.3. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 11.1 ëþáàÿ èç ñèñòåì óðàâ-
íåíèé (11.8) è (11.80 ) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå αk∗ , k = 1, n , ïðè
ëþáûõ n ∈ N . Ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ (11.9) ñõîäÿòñÿ ê òî÷íîìó ðåøå-
íèþ x∗ ∈ H óðàâíåíèÿ (11.1) â ïðîñòðàíñòâå H , ïðè÷åì äëÿ ïîãðåø-
íîñòè x∗ − x∗n ∈ H ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå íåóëó÷øàåìûå ïî ïîðÿäêó

Страницы