Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
Ax = y (x, y ∈ H), (11.1)
A
H (f, g)
f, g ∈ H kfk =
p
(f, f), f ∈ H
A : H −→ H
kAf − Agk 6 M kf − gk (f, g ∈ H),
M f, g ∈ H.
A : H −→ H
f g ∈ H
(Af − Ag, f − g) > m kf − gk
2
(f, g ∈ H),
m A
A,
A0 = 0.
(11.1) x
∗
∈ H
   § 11. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé
                            ñ ìîíîòîííûìè îïåðàòîðàìè
     Ýòîò ïàðàãðàô ïîñâÿùåí ìåòîäàì ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ, à òàêæå íåêî-
òîðûõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ìîíîòîííûìè îïåðàòîðàìè â
ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ.
     Ðàññìîòðèì îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå

                                    Ax = y (x, y ∈ H),                                  (11.1)

ãäå A  ëèíåéíûé èëè æå íåëèíåéíûé îïåðàòîð â âåùåñòâåííîì4 ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (f, g) ýëåìåíòîâ
                          p
f, g ∈ H è ñ íîðìîé kf k = (f, f ), f ∈ H .
      Íèæå ñóùåñòâåííûì îáðàçîì áóäóò èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå óñëî-
âèÿ.
      I. Îïåðàòîð A : H −→ H óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà

                         kAf − Agk 6 M kf − gk (f, g ∈ H),

ãäå M  ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò ýëåìåíòîâ f, g ∈ H.
     II. Îïåðàòîð A : H −→ H ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî ìîíîòîííûì, ò. å. äëÿ
ëþáûõ f è g ∈ H

                     (Af − Ag, f − g) > m kf − gk2 (f, g ∈ H),

ãäå m  ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, çàâèñÿùàÿ ëèøü îò îïåðàòîðà A .
     Çàìåòèì, ÷òî â ëèíåéíîì ñëó÷àå óñëîâèå I ýêâèâàëåíòíî îãðàíè÷åí-
íîñòè (à ñëåäîâàòåëüíî, íåïðåðûâíîñòè) îïåðàòîðà A, à óñëîâèå II  åãî
ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè.
     Êðîìå òîãî, íèæå áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ïðåäïîëàãàòü
òàêæå, ÷òî â íåëèíåéíîì ñëó÷àå A0 = 0.
     Äëÿ óðàâíåíèÿ (11.1) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû.


            11.1. Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ

          Òåîðåìà 11.1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ I è II. Òîãäà óðàâíåíèå
(11.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x∗ ∈ H ïðè ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè
  4 Âñå   ðåçóëüòàòû áåç ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé ïåðåíîñÿòñÿ íà êîìïëåêñíûå óðàâíåíèÿ â êîìïëåêñ-
íîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.

Страницы