Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
X
k=1
α
k
(Aϕ
k
, Aϕ
j
)
Y
= (y, Aϕ
j
)
Y
, j = 1, n, n ∈ N, (10.11)
A ∈ L(X, Y )
α
∗
= (α
∗
1
, . . . , α
∗
n
) n ∈ N
D
n
= det(ψ
k
, ψ
j
)
Y
§
ψ
1
, ψ
2
, . . . , ψ
n
ψ
k
= Aϕ
k
∈ Y
y = y(t) ∈ R[a, b] A(x
n
; t) ∈ R[a, b], x
n
∈ X
n
, (10.12)
R[a, b]
[a, b] ⊂ (−∞, ∞)
m
X
l=1
B
l
| y(t
l
) − A(x
n
; t
l
)|
2
⇒ min, (10.13)
B
l
= B
lm
∈ R
+
, t
l
= t
lm
∈ [a, b], m ∈ N
m
X
l=1
B
l
=
b
Z
a
ρ(t) dt, lim
m→∞
m
X
l=1
B
l
| y(t
l
)|
2
=
b
Z
a
ρ(t)| y(t)|
2
dt, y ∈ R [a, b],
(10.14)
ρ(t) ∈ L
1
[a, b] [a, b]
n
X
k=1
α
k
m
X
l=1
B
l
A(ϕ
k
; t
l
) A(ϕ
j
; t
l
) =
m
X
l=1
y(t
l
) A(ϕ
j
; t
l
), j = 1, n, (10.15)
α
β 10.1
(10.12).
îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå ñëåäóþùåé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé (ÑËÀÓ):
          n
          X
                   αk (Aϕk , Aϕj )Y = (y, Aϕj )Y ,               j = 1, n, n ∈ N,                (10.11)
          k=1

ãäå A ∈ L(X, Y ) . Ïîñêîëüêó ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî
íîðìèðîâàííûì, òî â óñëîâèÿõ ëþáîé èç òåîðåì 10.110.3 ÑËÀÓ (10.11)
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå α∗ = (α1∗ , . . . , αn∗ ) ïðè ëþáûõ n ∈ N ; ýòî ÿñíî
òàêæå èç òîãî ôàêòà, ÷òî îïðåäåëèòåëü Dn = det(ψk , ψj )Y ÑËÀÓ (10.11)
ñîâïàäàåò, êàê óæå óêàçûâàëîñü â § 6, ñ îïðåäåëèòåëåì Ãðàììà ëèíåéíî
íåçàâèñèìîé ñèñòåìû ýëåìåíòîâ ψ1 , ψ2 , . . . , ψn , ãäå ψk = Aϕk ∈ Y .
     Òåïåðü ðàññìîòðèì êîíêðåòèçàöèþ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ
â ÷àñòíîì ñëó÷àå

          y = y(t) ∈ R[a, b] è A(xn ; t) ∈ R[a, b], xn ∈ Xn ,                                    (10.12)

ãäå R[a, b]  ìíîæåñòâî âñåõ èíòåãðèðóåìûõ ïî Ðèìàíó ôóíêöèé â ïðî-
ìåæóòêå [a, b] ⊂ (−∞, ∞) .
     Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (10.1) áóäåì èñêàòü â âèäå ýëå-
ìåíòà (10.2), íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî áóäåì îïðåäåëÿòü èç
óñëîâèÿ
                             m
                             X
                                     Bl | y(tl ) − A(xn ; tl )| 2 ⇒ min,                         (10.13)
                               l=1
                         +
ãäå Bl = Blm ∈ R , tl = tlm ∈ [a, b], m ∈ N , ïðè÷åì

  m
  X            Zb                          m
                                           X                        Zb
        Bl =        ρ(t) dt,         lim         Bl | y(tl )| 2 =        ρ(t)| y(t)| 2 dt, y ∈ R [a, b],
                                 m→∞
  l=1          a                           l=1                      a
                                                                                                 (10.14)
à ρ(t) ∈ L1 [a, b] åñòü âåñîâàÿ ôóíêöèÿ ñåãìåíòà [a, b] .
      Óñëîâèå (10.13) ïðèâîäèò ê ÑËÀÓ
   n
   X          m
              X                                       m
                                                      X
         αk         Bl A(ϕk ; tl ) A(ϕj ; tl ) =             y(tl ) A(ϕj ; tl ),   j = 1, n,     (10.15)
   k=1        l=1                                      l=1

ãäå α  ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ âåëè÷èíà.

        Òåîðåìà 10.4. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèå β ) òåîðåìû 10.1 è óñëî-
âèÿ (10.12).

Страницы