Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

E
n
(x
∗
)
X
= ρ(x
∗
, X
n
)
X
x
∗
∈ X
(10.2) X
η(A) = kAk
X−→Y
kA
−1
k
Y −→X
A ∈ L(X, Y )
Y ;
Y = {y}
¡
f, g
¢
Y
kfk
Y
=
p
(f, f) (f, g ∈ Y );
Y = L
p
(ρ) = L
p
(ρ; < a, b >)
p ∈ (1, ∞)
kfk
Y
=
(
b
Z
a
ρ(t)|f(t)|
p
dt
)
1/p
, f ∈ L
p
(ρ),
ρ = ρ(t) < a, b > ⊂ (−∞, ∞)
< a, b >= b − a 6 ∞ L
1
(ρ) L
∞
(ρ)
C < a, b >
f(α
1
, α
2
, . . . , α
n
) ≡ ky −
n
X
k=1
α
k
Aϕ
k
k
Y
, y ∈ Y, n ∈ N,
α
∗
= (α
∗
1
α
∗
2
, . . . , α
∗
n
) f(α
1
, α
2
, . . . , α
n
)
α
∗
= (α
∗
1
α
∗
2
, . . . , α
∗
n
)
Y = {y}
X = {x}
α
∗
= ( α
∗
1
, . . . , α
∗
n
)
ãäå En (x∗ )X = ρ(x∗ , Xn )X  íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå x∗ ∈ X âñåâîç-
ìîæíûìè ýëåìåíòàìè âèäà (10.2) â ïðîñòðàíñòâå X , à

                            η(A) = kAkX−→Y kA−1 kY −→X

 ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè îïåðàòîðà A ∈ L(X, Y ) .
     Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â êàæäîé èç ïðèâåäåííûõ òåîðåì ñóùåñòâåí-
íûì îáðàçîì èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî ñòðîãîé íîðìèðîâàííîñòè ïðîñòðàí-
ñòâà Y ; òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàþò, íàïð., ñëåäóþùèå ïðîñòðàíñòâà:
     1) àáñòðàêòíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî Y = {y} ñî ñêàëÿðíûì
ïðîèçâåäåíèåì è ñ îïðåäåëÿåìîé ÷åðåç íåãî íîðìîé ñîîòâåòñòâåííî
                ¡ ¢                p
                 f, g   è kf kY = (f, f ) (f, g ∈ Y );
                           Y

    2) âåñîâîå ïðîñòðàíñòâî Ëåáåãà Y = Lp (ρ) = Lp (ρ; < a, b >) ïðè
ëþáûõ p ∈ (1, ∞) ñ íîðìîé
                               (Z b                     )1/p
                  kf kY =             ρ(t)|f (t)|p dt          ,   f ∈ Lp (ρ),
                                 a

ãäå ρ = ρ(t)  âåñîâàÿ ôóíêöèÿ îáëàñòè < a, b > ⊂ (−∞, ∞) ñ ìåðîé
mes < a, b >= b − a 6 ∞ . Îäíàêî ïðîñòðàíñòâà L1 (ρ) è L∞ (ρ) , à òàê-
æå ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé C < a, b > íå ÿâëÿþòñÿ ñòðîãî
íîðìèðîâàííûìè.
     Òàêèì îáðàçîì, â óñëîâèÿõ ëþáîé èç òåîðåì èññëåäóåìàÿ ôóíêöèÿ
                                              n
                                              X
           f (α1 , α2 , . . . , αn ) ≡ ky −         αk Aϕk kY ,      y ∈ Y, n ∈ N,
                                              k=1

èìååò åäèíñòâåííûé ìèíèìóì è îí äîñòèãàåòñÿ â åäèíñòâåííîé òî÷êå
α∗ = (α1∗ , α2∗ , . . . , αn∗ ) . Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ f (α1 , α2 , . . . , αn ) ÿâëÿåòñÿ
âûïóêëîé, íåïðåðûâíîé ïî üëüäåðó è îãðàíè÷åííîé ñíèçó, òî äëÿ íàõî-
æäåíèÿ ýêñòðåìàëüíîé òî÷êè α∗ = (α1∗ , α2∗ , . . . , αn∗ ) ìîæíî èñïîëüçîâàòü
õîðîøî ðàçâèòûå ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ìåòîäû âûïóêëîãî ïðîãðàììè-
ðîâàíèÿ (ñì., íàïð., [9], [68]).
      ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî îáîéòèñü òàêæå áîëåå ïðîñòûìè ñðåä-
ñòâàìè; ïóñòü, íàïð., Y = {y} åñòü ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñ óêàçàííû-
ìè âûøå ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì è íîðìîé, à X = {x}  ëèíåéíîå íîð-
ìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî. Òîãäà ýêñòðåìàëüíàÿ òî÷êà α∗ = (α1∗ , . . . , αn∗ )

Страницы