Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C,
E
ψ
n
(y) = ρ(y, AX
n
)
Y
, n ∈ N, (10.5)
y ∈ Y ρ(y, Y
n
)
Y
y ∈ Y Y
n
= AX
n
Y
{ψ
k
}
n
1
⊂ Y
α
∗
k
, k = 1, n,
x
∗
n
=
n
X
k=1
α
∗
k
ϕ
k
, n ∈ N, (10.2
∗
)
ky − Ax
∗
n
k
Y
= ky −
n
X
k=1
α
∗
k
Aϕ
k
k
Y
≡ E
ψ
n
(y). (10.6)
α
∗
k
, k = 1, n x
∗
n
∈ X
n
inf
Y
(10.2
∗
)
x
∗
n
∈ X
n
;
{E
ψ
n
(y)}
∞
1
x
∗
n
∈ X
n
x
∗
∈ X
x
∗
≈ x
∗
n
, n ∈ N,
α Y
β (10.1) x
∗
∈ X
y ∈ Y
ãäå C, êàê è âûøå, åñòü ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
     Âåëè÷èíà
                       Enψ (y) = ρ(y, AXn )Y ,          n ∈ N,             (10.5)
ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîãî y ∈ Y , ãäå ρ(y, Yn )Y åñòü ðàññòîÿíèå îò ýëåìåíòà
y ∈ Y äî ïîäïðîñòðàíñòâà Yn = AXn â íîðìå ïðîñòðàíñòâà Y . Åñëè æå
ñèñòåìà ýëåìåíòîâ {ψk }n1 ⊂ Y ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî ñóùåñòâóþò ÷èñëà
αk∗ , k = 1, n, à ñëåäîâàòåëüíî, è ýëåìåíò
                                    n
                                    X
                          x∗n   =         αk∗ ϕk ,   n ∈ N,               (10.2∗ )
                                    k=1

íà êîòîðûõ äîñòèãàþòñÿ òî÷íûå íèæíèå ãðàíè â (10.4), è òîãäà
                                            n
                                            X
               ky −   Ax∗n kY   = ky −            αk∗ Aϕk kY ≡ Enψ (y).    (10.6)
                                            k=1

Îäíàêî ÷èñëà αk∗ , k = 1, n , à ñëåäîâàòåëüíî, è ýëåìåíò x∗n ∈ Xn , íà
êîòîðûõ ðåàëèçóþòñÿ inf â (10.4), íå îáÿçàíû áûòü åäèíñòâåííûìè. Åñ-
ëè æå ïðîñòðàíñòâî Y ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî íîðìèðîâàííûì, òî óêàçàííàÿ
åäèíñòâåííîñòü îáåñïå÷èâàåòñÿ.
       Â ñâÿçè ñ ýòèì â ïîðÿäêå âîçðàñòàþùåé òðóäíîñòè âîçíèêàþò ñëå-
äóþùèå çàäà÷è:
       1) ñóùåñòâîâàíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ (10.2∗ ) è åãî åäèíñòâåí-
íîñòü;
       2) ïðàêòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå ýëåìåíòà x∗n ∈ Xn ;
       3) âû÷èñëåíèå è èññëåäîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèîíàëîâ
{Enψ (y)}∞1 êàê îäíîé èç âàæíåéøèõ õàðàêòåðèñòèê ìåòîäà;
       4) ñõîäèìîñòü ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé x∗n ∈ Xn ê òî÷íîìó ðåøåíèþ
x∗ ∈ X óðàâíåíèÿ (10.1) è îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåííîé ôîðìóëû
x∗ ≈ x∗n , n ∈ N, â çàâèñèìîñòè îò ñòðóêòóðíûõ ñâîéñòâ èñõîäíûõ äàííûõ.
       Ðåøåíèå óêàçàííûõ çàäà÷ ïðåäëàãàåòñÿ â ñëåäóþùèõ òåîðåìàõ (ââè-
äó îãðàíè÷åííîñòè îáúåìà ïîñîáèÿ çäåñü äîêàçàòåëüñòâà íå ïðèâîäÿòñÿ).

     Òåîðåìà 10.1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     α ) Y  ñòðîãî íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî èëè æå èìååò âû-
ïóêëóþ ñôåðó;
     β ) óðàâíåíèå (10.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x∗ ∈ X õîòÿ áû
ïðè äàííîé ïðàâîé ÷àñòè y ∈ Y .

Страницы