Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§
Ax = y (x ∈ X, y ∈ Y, A ∈ L(X, Y )), (10.1)
X Y L(X, Y )
X Y
X = Y Y
{X
n
}
∞
1
X dim X
n
= n ∈ N X
n
⊂ D(A)
A ∈ L(X, Y )
x
n
=
n
X
k=1
α
k
ϕ
k
∈ X
n
, n ∈ N, (10.2)
{ϕ
k
= ϕ
kn
}
n
1
X
n
α
k
= α
kn
∈ C (k = 1, n)
r
n
≡ y − Ax
n
= y −
n
X
k=1
α
k
ψ
k
, ψ
k
≡ Aϕ
k
, (10.3)
Y
inf
x
n
∈X
n
ky − Ax
n
k
Y
= inf
α
1
,...,α
n
∈C
ky −
n
X
k=1
α
k
ψ
k
k
Y
≡ E
ψ
n
(y), (10.4)
               § 10. Ðåøåíèå îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé
                      ìåòîäîì ìèíèìàëüíûõ íåâÿçîê

     Ýòîò ïàðàãðàô ïîñâÿùåí îáîáùåíèþ èçâåñòíîãî â íàó÷íîé ëèòå-
ðàòóðå ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ è äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ íà ñëó÷àé îáùèõ
ëèíåéíûõ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé, çàäàííûõ â ïàðå ïðîèçâîëüíûõ (íå
îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþùèõ) áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ. Îñíîâíîå âíèìàíèå
ïðè ýòîì óäåëåíî âîïðîñàì òåîðåòè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ óêàçàííîãî ìåòî-
äà.
     Ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíîå îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå
                     Ax = y (x ∈ X, y ∈ Y, A ∈ L(X, Y )),                       (10.1)
ãäå X è Y  ïîëíûå ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà, à L(X, Y )
 ïðîñòðàíñòâî âñåõ ëèíåéíûõ (ò. å. àääèòèâíûõ è îäíîðîäíûõ) îïåðàòî-
ðîâ èç X â Y .
      Íèæå, â ïðîäîëæåíèå íà÷àòûõ â ðàáîòàõ [59], [62], [63], [40], [10][12]
èññëåäîâàíèé, èçó÷àåòñÿ ïðèáëèæåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (10.1),
â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ (íàïð., êîãäà X = Y èëè õîòÿ áû Y åñòü ãèëüáåðòîâî
ïðîñòðàíñòâî) ñîâïàäàþùèé ñ èçâåñòíûì (ñì., íàïð., [62][64]) ìåòîäîì
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ (ñì. òàêæå âûøå ï. 6.3).
      Ïóñòü {Xn }∞1   ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíå÷íîìåðíûõ ïîäïðî-
ñòðàíñòâ ïðîñòðàíñòâà X , dim Xn = n ∈ N , ïðè÷åì Xn ⊂ D(A) â ñëó÷àå
íåîãðàíè÷åííîñòè îïåðàòîðà A ∈ L(X, Y ) .
      Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (10.1) èùåì â âèäå ýëåìåíòà
                                n
                                X
                         xn =         αk ϕk ∈ Xn ,        n ∈ N,                (10.2)
                                k=1

ãäå {ϕk =  ϕkn }n1
                áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà Xn . Íåèçâåñòíûå êîýôôèöè-
åíòû αk = αkn ∈ C (k = 1, n) áóäåì îïðåäåëÿòü èñõîäÿ èç óñëîâèÿ
ìèíèìàëüíîñòè íîðìû íåâÿçêè
                                             n
                                             X
                rn ≡ y − Axn = y −                 αk ψk ,   ψk ≡ Aϕk ,         (10.3)
                                             k=1
â ïðîñòðàíñòâå Y :
                                                    n
                                                    X
        inf ky − Axn kY =        inf         ky −         αk ψk kY ≡ Enψ (y),   (10.4)
      xn ∈Xn                 α1 ,...,αn ∈C
                                                    k=1

Страницы