Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X Y
9.9 B
n
τ
n
(9.41)
(9.42) (9.44)
n,
α
n
= kA
−1
k kA − A
n
k < 1/2, A − A
n
: X
n
−→ Y,
kA
−1
n
k 6 2kA
−1
k, kx
∗
− x
∗
n
k 6 akA − A
n
k + bky − y
n
k, n > n
0
, (9.58)
a b n.
B
n
= A
∗
n
, A
∗
n
A
n
A
∗
n
A
n
M
n
= kA
n
k
2
m
n
> kA
−1
n
k
−2
>
> (2kA
−1
k)
2
> 0. τ = τ
n
0 < τ < 2kA
n
k
−2
6 2ρ
−2
(A
n
), ρ(A
n
)
A
n
, 0 < τ < 2kA
−1
n
k
2
6 8kA
−1
k
2
.
(9.41) j → ∞, n > n
0
(9.36).
τ = τ
n
= (M
n
+ m
n
)
−1
,
T
n
= E − τB
n
A
n
q
n
= ρ(T
n
) = ρ(E − τ
n
A
∗
n
A
n
) = (M
n
− m
n
)/(M
n
+ m
n
) < 1. (9.59)
x
j
n
→ x
∗
n
, j → ∞,
q
n
,
kx
∗
n
− x
j
n
k 6 (M
1/2
n
/m
n
)[(M
n
− m
n
)/(M
n
+ m
n
)]
j+1
ky
n
k; j = 0, 1, . . . .
(9.60)
j
0
j
q
j+1
n
ky
n
kM
1/2
n
= m
n
(akA
n
− Ak + bky
n
− yk),
Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà 9.11 äîêàçàíà.

     Òåîðåìà 9.12. Ïóñòü X è Y  ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà. Òîãäà
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé à) è á) òåîðåìû 9.9 ñóùåñòâóþò îïåðàòîðû Bn
è èòåðàöèîííûå ïàðàìåòðû τn òàêèå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (9.41)
ñõîäèòñÿ â ñìûñëå (9.42)  (9.44) ñî ñêîðîñòüþ, îïðåäåëÿåìîé íèæå.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ âñåõ n, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, èìååì

           αn = kA−1 k kA − An k < 1/2,      A − An : Xn −→ Y,

è, êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû 4.1,

  kA−1       −1    ∗   ∗
    n k 6 2kA k, kx − xn k 6 akA − An k + bky − yn k, n > n0 ,       (9.58)

ãäå a è b  ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå, íå çàâèñÿùèå îò n. Äàëüøå äîêà-
çàòåëüñòâî ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè.  ÷àñòíîñòè,
ïîëàãàÿ Bn = A∗n , ãäå A∗n  ñîïðÿæåííûé ê An îïåðàòîð, ïîëó÷àåì, ÷òî
A∗n An â ñèëó (9.58) ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåí-
íûì îïåðàòîðîì ñ ãðàíèöàìè ñïåêòðà Mn = kAn k2 è mn > kA−1     n k
                                                                   −2
                                                                      >
        −1 2
> (2kA k) > 0. Åñëè èòåðàöèîííûé ïàðàìåòð τ = τn âûáðàòü èç óñëî-
âèÿ 0 < τ < 2kAn k−2 6 2ρ−2 (An ), ãäå ρ(An )  ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ
îïåðàòîðà An , òî â ñèëó (9.58) íàõîäèì 0 < τ < 2kA−1     2        −1 2
                                                       n k 6 8kA k .
Òîãäà [59], [61] ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (9.41) ïðè j → ∞, n > n0 ñõîäèòñÿ ê
åäèíñòâåííîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (9.36). Ïîëàãàÿ äëÿ îïðåäåëåííîñòè
τ = τn = (Mn + mn )−1 , äëÿ ñïåêòðàëüíîãî ðàäèóñà îïåðàòîðà ïåðåõîäà
Tn = E − τ Bn An èìååì

    qn = ρ(Tn ) = ρ(E − τn A∗n An ) = (Mn − mn )/(Mn + mn ) < 1.     (9.59)

Ïîýòîìó xjn → x∗n , j → ∞, êàê ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñî çíàìåíàòå-
ëåì qn , òî÷íåå,

 kx∗n − xjn k 6 (Mn1/2 /mn )[(Mn − mn )/(Mn + mn )]j+1 kyn k;
                                                          j = 0, 1, . . . .
                                                                    (9.60)
Èç (9.58) è (9.60) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ïðîöåññà (9.41) â ñìûñëå (9.42). Ñ
äðóãîé ñòîðîíû, îáîçíà÷àÿ ÷åðåç j0 öåëóþ íåîòðèöàòåëüíóþ ÷àñòü (îòíî-
ñèòåëüíî j ) ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ

              qnj+1 kyn kMn1/2 = mn (akAn − Ak + bkyn − yk),

Страницы