Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

j
0
j
kA
−1
k(1 − p
n
)
−1
{ky − y
n
k + p
n
kyk} = τq
j+1
(1 − q)
−1
kB
n
y
n
k. (9.51)
2ky
n
k(1 − q)
−1
q
j+1
= ky − y
n
k + p
n
kyk; (9.51
0
)
kx
∗
− x
j
0
n
k 6 4kA
−1
k(1 − p
n
)
−1
(1 − q)
−1
ky
n
kq
j
0
+1
, (9.44
0
)
j
0
= j
0
0
(9.51
0
)
B :
Y → X
kB
n
− Bk −→ 0 n → ∞, B
n
− B : Y
n
−→ X;
A
n
B
n
y
n
τ q
n
≡ kE − τB
n
A
n
k 6 q < 1
kA
n
− Ak −→ 0 A
n
− A : X
n
−→ Y ky
n
− yk → 0 n → ∞
9.9 j
0
q
j+1
kB
n
y
n
k = kBk(1 − γ
n
)
−1
(ky − y
n
k + γ
n
kyk), (9.52)
γ
n
= τkBk(1 − q)
−1
kA − A
n
k < 1, A − A
n
: X
n
−→ Y.
B
n
n > n
1
A
n
n > n
1
x
j
n
→ x
∗
n
, j → ∞,
kx
∗
n
− x
j
n
k 6 q
j+1
(1 − q)
−1
τkB
n
y
n
k, x
0
n
= τB
n
y
n
, j = 1, 2, . . . . (9.53)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç j0 öåëóþ íåîòðèöàòåëüíóþ ÷àñòü ðåøåíèÿ (îòíîñèòåëü-
íî j ) óðàâíåíèÿ

      kA−1 k(1 − pn )−1 {ky − yn k + pn kyk} = τ q j+1 (1 − q)−1 kBn yn k.        (9.51)

Òîãäà èç (9.50) íàõîäèì îöåíêó (9.44), îòêóäà è èç (9.50), êàê è â ïóíêòàõ
9.2 è 9.3, ñëåäóåò òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
      Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (9.51) â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (9.46) è òåîðåìû
4.1 ìîæåò áûòü çàìåíåíî áîëåå ïðîñòûì óðàâíåíèåì

                        2kyn k(1 − q)−1 q j+1 = ky − yn k + pn kyk;              (9.510 )

òîãäà îöåíêó (9.44) ñëåäóåò çàìåíèòü íà
                    j
            kx∗ − xn0 k 6 4kA−1 k(1 − pn )−1 (1 − q)−1 kyn kq j0 +1 ,            (9.440 )

ãäå j0 = j00  ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9.510 ) .
      Òåîðåìó 9.9 íåñêîëüêî äîïîëíÿåò ñëåäóþùàÿ

        Òåîðåìà 9.10. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
     à) ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíî îáðàòèìûé ëèíåéíûé îïåðàòîð B :
Y → X;
     á) kBn − Bk −→ 0 , n → ∞, Bn − B : Yn −→ X;
     â) An , Bn , yn è τ òàêîâû, ÷òî qn ≡ kE − τ Bn An k 6 q < 1 è
kAn − Ak −→ 0 , An − A : Xn −→ Y , kyn − yk → 0 , n → ∞ .
     Òîãäà ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå òåîðåìû 9.9 äëÿ j0 , ÿâëÿþùåãîñÿ
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ

                q j+1 kBn yn k = kBk(1 − γn )−1 (ky − yn k + γn kyk),             (9.52)
ãäå
           γn = τ kBk(1 − q)−1 kA − An k < 1,          A − An : Xn −→ Y.
        Äîêàçàòåëüñòâî âî ìíîãîì àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû
9.9. Ïîýòîìó óêàæåì òîëüêî ñõåìó äîêàçàòåëüñòâà.
      Â ñèëó óñëîâèé à) è á) ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 4.1 äîêàçûâàåòñÿ ëè-
íåéíàÿ îáðàòèìîñòü îïåðàòîðîâ Bn ïðè âñåõ n > n1 . Îòñþäà è èç óñëî-
âèÿ â) âûâîäèòñÿ ëèíåéíàÿ îáðàòèìîñòü îïåðàòîðîâ An ïðè n > n1 è
xjn → x∗n , j → ∞, ñî ñêîðîñòüþ, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâàìè

 kx∗n − xjn k 6 q j+1 (1 − q)−1 τ kBn yn k,    x0n = τ Bn yn ,   j = 1, 2, . . . . (9.53)

Страницы