Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(9.41)
x
∗
= A
−1
y (9.1)
lim
n→∞
lim
j→∞
x
j
n
= lim
n→∞
x
∗
n
= x
∗
. (9.42)
j = j
0
n > n
0
, j = 1, 2, . . .
kx
j
0
n
− x
∗
k 6 kx
j
n
− x
∗
k; lim
n→∞
x
j
0
n
= x
∗
; lim
n→∞
x
j
n
6= x
∗
(j 6= j
0
); (9.43)
kx
∗
− x
j
0
n
k 6 2τ(1 − q)
−1
q
j
0
+1
kB
n
y
n
k. (9.44)
p
n
= kA
−1
kε
n
.
n > n
0
p
n
< 1
A
n
: X
n
−→ Y
n
kx
∗
− x
∗
n
k 6 kA
−1
k(1 − p
n
)
−1
{ky − y
n
k + p
n
kyk}, (9.45)
x
∗
= A
−1
y x
∗
n
= A
−1
n
y
n
B
n
: Y
n
−→ X
n
B
n
= τ
−1
(E − T
n
)A
−1
n
, T
n
= E − τB
n
A
n
, n > n
0
. (9.46)
B
n
: Y
n
−→ X
n
B
−1
n
= τA
n
(E − T
n
)
−1
, T
n
= E − τB
n
A
n
, n > n
0
. (9.47)
n > n
0
x
n
= (E − τB
n
A
n
)x
n
+ τB
n
y
n
, n > n
0
. (9.48)
x
0
n
= τB
n
y
n
j → ∞ n > n
0
x
∗
n
=
= A
−1
n
y
n
kx
∗
n
− x
j
n
k 6 q
j+1
(1 − q)
−1
τkB
n
y
n
k, n > n
0
, j = 1, 2, . . . , (9.49)
n > n
0
, j = 1, 2, . . . :
kx
∗
− x
j
n
k 6 kA
−1
k(1 − p
n
)
−1
{ky − y
n
k + p
n
kyk} + τq
j+1
(1 − q)
−1
kB
n
y
n
k.
(9.50)
    Òîãäà èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (9.41) ñõîäèòñÿ ê åäèíñòâåííîìó ðå-
øåíèþ x∗ = A−1 y óðàâíåíèÿ (9.1) â òîì ñìûñëå, ÷òî

                           lim lim xjn = lim x∗n = x∗ .                              (9.42)
                           n→∞ j→∞           n→∞

Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíûé íîìåð èòåðàöèè j = j0 òàêîé,
÷òî ïðè n > n0 , j = 1, 2, . . . ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
    j                                   j
 kxn0 − x∗ k 6 kxjn − x∗ k;       lim xn0 = x∗ ;     lim xjn 6= x∗        (j 6= j0 ); (9.43)
                                  n→∞                n→∞
                              j
                     kx∗ − xn0 k 6 2τ (1 − q)−1 q j0 +1 kBn yn k.                    (9.44)
        Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì pn = kA−1 kεn . ßñíî, ÷òî ïðè âñåõ
n > n0 â ñèëó óñëîâèÿ á) èìååì pn < 1 . Òîãäà â ñèëó òåîðåìû 4.1 îïåðàòîð
An : Xn −→ Yn ëèíåéíî îáðàòèì è

               kx∗ − x∗n k 6 kA−1 k(1 − pn )−1 {ky − yn k + pn kyk},                 (9.45)

ãäå x∗ = A−1 y , x∗n = A−1
                        n yn . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îïåðàòîð Bn : Yn −→ Xn
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

          Bn = τ −1 (E − Tn )A−1
                              n ,       T n = E − τ Bn A n ,       n > n0 .          (9.46)

Òîãäà â ñèëó óñëîâèÿ â) îïåðàòîð Bn : Yn −→ Xn ëèíåéíî îáðàòèì è

          Bn−1 = τ An (E − Tn )−1 ,     T n = E − τ B n An ,       n > n0 .          (9.47)

Ïîýòîìó óðàâíåíèå (9.36) ïðè âñåõ n > n0 ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ

                   xn = (E − τ Bn An )xn + τ Bn yn ,          n > n0 .               (9.48)

ßñíî, ÷òî ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9.48) ñ íà÷àëüíûì
ïðèáëèæåíèåì x0n = τ Bn yn ñîâïàäàåò ñ óíèâåðñàëüíûì èòåðàöèîííûì
ìåòîäîì (9.41) äëÿ óðàâíåíèÿ (9.1). Ïîýòîìó â ñèëó óñëîâèÿ â) ìåòîä
(9.41) ñõîäèòñÿ ïðè j → ∞ è n > n0 ê åäèíñòâåííîìó ðåøåíèþ x∗n =
= A−1
    n yn óðàâíåíèÿ (9.36) ñî ñêîðîñòüþ

    kx∗n − xjn k 6 q j+1 (1 − q)−1 τ kBn yn k,     n > n0 ,      j = 1, 2, . . . ,   (9.49)

Èç (9.45) è (9.49) íàõîäèì îöåíêó ïðè n > n0 ,                j = 1, 2, . . . :

kx∗ − xjn k 6 kA−1 k(1 − pn )−1 {ky − yn k + pn kyk} + τ q j+1 (1 − q)−1 kBn yn k.
                                                                           (9.50)

Страницы