Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(9.1) x
∗
∈ X
y ∈ Y
(9.2) B =
e
A
−1
, x
0
= τBy
(9.33) x
j
=
e
A
−1
z
j
.
(9.4) (9.5).
X Y X
n
Y
n
A
n
x
n
= y
n
(x
n
∈ X
n
, y
n
∈ Y
n
, n = 1, 2, . . .), (9.36)
A : X −→ Y A
n
: X
n
−→ Y
n
x
∗
x
j+1
n
= x
j
n
+ τB(y − Ax
j
n
), x
0
n
= x
∗
n
; n, j = 1, 2, . . . , (9.37)
x
∗
n
y
n
∈
Y
n
B : Y −→ X
B : X −→ Y
q = kE − τ BAk < 1
kA
n
− Ak
X
n
→Y
→ 0 ky − y
n
k → 0 n → ∞
(9.37)
x
∗
(9.1)
lim
j→∞
n→∞
x
j
n
= x
∗
= lim
j→∞
x
j
n
= lim
n→∞
x
j
n
= lim
j→∞
lim
n→∞
x
j
n
, (9.38)
kx
∗
− x
j
n
k 6 τq
j
(1 − q)
−1
kBk ky − Ax
∗
n
k; n, j = 1, 2, . . . . (9.39)
j = j
0
= [[ln ky − Ax
∗
n
k/ ln q]],
kx
∗
− x
j
0
n
k 6 τkBkq
−1
(1 − q)
−1
ky − Ax
∗
n
k
2
6 τkBk(1 − q)
−1
q
2j
0
, (9.40)
òî óðàâíåíèå (9.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x∗ ∈ X ïðè ëþáîì
y ∈ Y è åãî ðåøåíèå ìîæíî íàéòè êàê ïðåäåë èòåðàöèîííîé ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòè (9.2) ïðè B = Ae−1 , x0 = τ By èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
                e−1 z j .
(9.33) ïðè xj = A

     Çàìå÷àíèå 9.2. Óòâåðæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå òåîðåìàì 9.59.7,
ñïðàâåäëèâû òàêæå äëÿ èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ (9.4) è (9.5).


  9.4. Âàðèàíò ìåòîäà óòî÷íÿþùèõ èòåðàöèé íà áàçå ïðÿìûõ ìåòîäîâ

     Ðàññìîòðèì åùå îäèí ðåçóëüòàò ïî ìåòîäó óòî÷íÿþùèõ èòåðàöèé,
îñíîâàííûé íà ïðÿìûõ ìåòîäàõ ðåøåíèÿ îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé. Ïóñòü
X è Y  áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà, à Xn è Yn  èõ êîíå÷íîìåðíûå
ïîäïðîñòðàíñòâà îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè. Ðàññìîòðèì äâà óðàâíåíèÿ:
òî÷íîå (9.1) è ñîîòâåòñòâóþùåå åìó ïðèáëèæåííîå âèäà

              An xn = yn (xn ∈ Xn ,      yn ∈ Yn ,      n = 1, 2, . . .),      (9.36)
ãäå A : X −→ Y è An : Xn −→ Yn  ëèíåéíûå íåïðåðûâíûå îïåðàòîðû.
Ðåøåíèå x∗ óðàâíåíèÿ (9.1) áóäåì îïðåäåëÿòü èòåðàöèîííûì ìåòîäîì

       xj+1
        n   = xjn + τ B(y − Axjn ),    x0n = x∗n ;    n, j = 1, 2, . . . ,     (9.37)
ãäå x∗n  ðåøåíèå ïðèáëèæåííîãî óðàâíåíèÿ (9.36) ïðè ïðàâîé ÷àñòè yn ∈
Yn , à B : Y −→ X  ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð. Ñïðàâåäëèâà

     Òåîðåìà 9.8. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
    à) îïåðàòîð B : X −→ Y íåïðåðûâíî îáðàòèì;
    á) q = kE − τ BAk < 1 ;
    â) kAn − AkXn →Y → 0 , ky − yn k → 0 , n → ∞ .
    Òîãäà èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (9.37) ñõîäèòñÿ ê åäèíñòâåííîìó ðå-
øåíèþ x∗ óðàâíåíèÿ (9.1) â ñìûñëå

               lim xjn = x∗ = lim xjn = lim xjn = lim lim xjn ,                (9.38)
               j→∞
               n→∞
                               j→∞        n→∞           j→∞ n→∞

ïðè÷åì

     kx∗ − xjn k 6 τ q j (1 − q)−1 kBk ky − Ax∗n k;     n, j = 1, 2, . . . .   (9.39)
Åñëè, â ÷àñòíîñòè, j = j0 = [[ln ky − Ax∗n k/ ln q]], òî
          j
  kx∗ − xn0 k 6 τ kBkq −1 (1 − q)−1 ky − Ax∗n k2 6 τ kBk(1 − q)−1 q 2j0 ,      (9.40)

Страницы