Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 62 стр.

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КФУ | Казань

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(9.1) (9.22) D(A) =
= D(
e
A) ⊆ X, R(A) = R (
e
A) ⊆ Y
e
A
e
A
−1
l
T = T
l
= E − τ
e
A
−1
l
ρ = ρ(T
l
) < 1
(9.1) x
∗
y ∈ R(A)
(9.2) B =
e
A
−1
l
x
0
= τ
e
A
−1
l
y y ∈ R(A)
kT k 6 q < 1
kx
∗
− x
j
k 6 q
j+1
(1 − q)
−1
kx
0
k, x
0
= τ
e
A
−1
l
y. (9.32)
(9.1) (9.22) D(A) =
= D(
e
A) = X, R(A) = R(
e
A) = Y
e
A
e
A
−1
r
T = T
r
= E− τA
r
ρ = ρ(T
r
) < 1 (9.1)
X
1
= X ª N(
e
A) x
∗
=
=
e
A
−1
r
z
∗
∈ X
1
, N(
e
A)
e
A z
∗
z
j+1
= z
j
+ τ (y − A
e
A
−1
r
z
j
) = T
r
z
j
+ τy, z
0
= τy, j = 0, 1, . . . . (9.33)
kT
r
k 6 q < 1
kx
∗
− x
j
k 6 τq
j+1
(1 − q)
−1
k
e
A
−1
r
k kyk, x
j
=
e
A
−1
r
z
j
, j = 1, 2, . . . . (9.34)
e
A
−1
. T
l
= E − τ
e
A
−1
A
T
r
= E − τA
e
A
−1
N(
e
A) = θ, X
1
= X =
e
A
−1
(Y ).
x
0
= τ
e
A
−1
y, B =
e
A
−1
x
j
=
e
A
−1
z
j
, z
j
=
e
Ax
j
, j = 0, 1, . . . .
(9.1) (9.22)
A : X −→ Y,
e
A : X −→ Y D(A) =
= D(
e
A) = X, R(A) = R(
e
A) = Y.
e
A
ρ(T
l
) = ρ(T
r
) < 1, T
l
= E − τ
e
A
−1
A, T
r
= E − τA
e
A
−1
, (9.35)
      Òåîðåìà 9.5. Ïóñòü äàíû óðàâíåíèÿ (9.1) è (9.22) , ãäå D(A) =
= D(A)e ⊆ X, R(A) = R(A)   e ⊆ Y . Ïóñòü ïðèáëèæåííûé îïåðàòîð A       e
èìååò ëåâûé ëèíåéíûé îáðàòíûé A   e−1 è ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ îïåðàòî-
                                   l
                        e−1
ðà øàãà T = Tl = E − τ Al óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó ρ = ρ(Tl ) < 1 .
Òîãäà óðàâíåíèå (9.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x∗ ïðè äàííîé ïðà-
âîé ÷àñòè y ∈ R(A) , è åãî ìîæíî íàéòè êàê ïðåäåë èòåðàöèîííîé ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè (9.2) ïðè B = A   e−1 , x0 = τ A
                                                e−1 y , y ∈ R(A) . Åñëè,
                                     l           l
êðîìå òîãî, kT k 6 q < 1 , òî óêàçàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ
ñî ñêîðîñòüþ
                kx∗ − xj k 6 q j+1 (1 − q)−1 kx0 k,            e−1 y.
                                                        x0 = τ A                (9.32)
                                                                 l


      Òåîðåìà 9.6. Ïóñòü äàíû óðàâíåíèÿ (9.1) è (9.22) , ãäå D(A) =
= D(A)e = X, R(A) = R(A) e = Y . Ïóñòü îïåðàòîð A   e èìååò ïðàâûé
îáðàòíûé Ae−1 è ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ îïåðàòîðà øàãà T = Tr = E− τ Ar
           r
óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó ρ = ρ(Tr ) < 1 . Òîãäà óðàâíåíèå (9.1) â
ïðîñòðàíñòâå X1 = X ª N (A)  e èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x∗ =
   e−1 ∗              e                                       e ∗
= A r z ∈ X1 , ãäå N (A)  ïîäïðîñòðàíñòâî íóëåé îïåðàòîðà A , z
åñòü ïðåäåë èòåðàöèîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
                       e−1 z j ) = Tr z j + τ y,
 z j+1 = z j + τ (y − AA                           z 0 = τ y,   j = 0, 1, . . . . (9.33)
                         r

Åñëè, êðîìå òîãî, kTr k 6 q < 1 , òî
                                 e−1
 kx∗ − xj k 6 τ q j+1 (1 − q)−1 kAr k kyk,
                                                    e−1
                                               xj = A    j
                                                      r z ,     j = 1, 2, . . . . (9.34)
      Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 9.5 è 9.6 èìåþòñÿ â ðàáîòå àâòîðà [19].
      Ïóñòü òåïåðü ñóùåñòâóåò äâóñòîðîííèé ëèíåéíûé îïåðàòîð
e−1 . Òîãäà ñïåêòðàëüíûå ðàäèóñû îïåðàòîðîâ Tl = E − τ A
A                                                                    e−1 A è
             e−1 ñîâïàäàþò, N (A)
Tr = E − τ A A                  e = θ, X1 = X = A     e−1 (Y ). Ñëåäîâàòåëü-
                                          e−1 y, B = A
íî, èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (9.2) ïðè x0 = τ A                e−1 ýêâèâàëåíòåí
ïðîöåññó (9.33) â ñìûñëå çàìåíû xj = A  e−1 z j , z j = Ax
                                                         e j , j = 0, 1, . . . .
Ïîýòîìó èç òåîðåì 9.5 è 9.6 ñëåäóåò

      Òåîðåìà 9.7. Ïóñòü äàíû óðàâíåíèÿ (9.1) è (9.22) ñ ëèíåéíûìè
íåïðåðûâíûìè îïåðàòîðàìè A : X −→ Y, A   e : X −→ Y è D(A) =
     e = X, R(A) = R(A)
= D(A)                e = Y. Åñëè îïåðàòîð Ae íåïðåðûâíî îáðàòèì
è ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ
     ρ(Tl ) = ρ(Tr ) < 1,                e−1 A,
                              Tl = E − τ A                         e−1 ,
                                                      Tr = E − τ A A            (9.35)

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