Теория приближенных методов решения операторных уравнений. Габдулхаев Б.Г. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

τ = 1 n, j = 1, 2, . . .
kx
∗
− x
j
n
k 6 k
e
A
−1
k(1 − q
0
)
−1
{ky − y
n
k + kAx
∗
− A
n
x
∗
k + q
j+1
0
ky
n
k}, (9.26)
kx
∗
n
− x
j
n
k 6 k
e
A
−1
k(1 − q
0
)
−1
{ky − y
n
k + kAx
∗
n
− A
n
x
∗
n
k + q
j+1
0
ky
n
k}, (9.27)
q
0
= max(q
0
, q), kx
∗
k 6 k
e
A
−1
k(1 − q)
−1
kyk,
kx
∗
n
k 6 k
e
A
−1
k(1 − q
0
)
−1
ky
n
k.
ky − y
n
k → 0 kAx
∗
− A
n
x
∗
k → 0 n → ∞
(9.4)
x
∗
(9.1) (9.12)
(9.26) (9.27)
j = j
0
(9.17)
A
j
→ A y
j
→ y j → ∞
q
j
= kE − τ
e
A
−1
A
j
k 6 q
0
< 1,
(9.5
0
) x
∗
(9.1).
A A
n
kA
−1
k 6 k
e
A
−1
k(1 − q)
−1
, kA
−1
n
k 6 k
e
A
−1
k(1 − q
0
)
−1
, n = 1, 2, . . . .
(9.28)
n = 1, 2, . . .
kx
∗
− x
∗
n
k 6 kA
−1
n
k(ky − y
n
k + kAx
∗
− A
n
x
∗
k),
(9.29)
kx
∗
− x
∗
n
k 6 kA
−1
k(ky − y
n
k + kAx
∗
n
− A
n
x
∗
n
k),
j = j
0
j = j
0
0
j
ky − y
n
k + kAx
∗
− A
n
x
∗
k = q
j+1
0
ky
n
k,
       Ñëåäñòâèå 1. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû ïðè τ = 1 è n, j = 1, 2, . . .
                e−1 k(1 − q0 )−1 {ky − yn k + kAx∗ − An x∗ k + q j+1 kyn k}, (9.26)
 kx∗ − xjn k 6 kA                                               0

                 e−1 k(1 − q 0 )−1 {ky − yn k + kAx∗n − An x∗n k + q j+1 kyn k}, (9.27)
 kx∗n − xjn k 6 kA                                                  0

ãäå
                q 0 = max(q0 , q),            e−1 k(1 − q)−1 kyk,
                                     kx∗ k 6 kA
                                    e−1 k(1 − q0 )−1 kyn k.
                          kx∗n k 6 kA

       Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ky − yn k → 0 , kAx∗ − An x∗ k → 0 ïðè n → ∞ ,
òî â óñëîâèÿõ òåîðåìû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (9.4) ñõîäèòñÿ ê òî÷íîìó
ðåøåíèþ x∗ óðàâíåíèÿ (9.1) â ñìûñëå (9.12) è ñî ñêîðîñòüþ, îïðåäåëÿ-
åìîé íåðàâåíñòâàìè (9.26) è (9.27) , ïðè÷åì ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð
èòåðàöèè j = j0 , ÷òî ñïðàâåäëèâî (9.17) ñî ñêîðîñòüþ, îïðåäåëÿåìîé
íèæå.

       Ñëåäñòâèå 3. Åñëè Aj → A (ñèëüíî), yj → y (ñèëüíî) ïðè j → ∞
è
                                      e−1 Aj k 6 q0 < 1,
                          qj = kE − τ A
òî èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (9.50 ) ñõîäèòñÿ ê åäèíñòâåííîìó ðåøåíèþ x∗
îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (9.1).
     Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó (9.23) îïåðàòîðû A è An ëèíåéíî îáðà-
òèìû, ïðè÷åì
              e−1 k(1 − q)−1 ,
    kA−1 k 6 kA                      kA−1     e−1         −1
                                       n k 6 kA k(1 − q0 ) ,
                                                        n = 1, 2, . . . .
                                                                    (9.28)
Òîãäà îáû÷íûì ñïîñîáîì ïðè ëþáûõ n = 1, 2, . . . íàõîäèì îöåíêè

               kx∗ − x∗n k 6 kA−1                 ∗      ∗
                               n k(ky − yn k + kAx − An x k),
                                                                                (9.29)
               kx∗ − x∗n k 6 kA−1 k(ky − yn k + kAx∗n − An x∗n k),
Òåïåðü ñ ïîìîùüþ (9.25), (9.28) è ïåðâîé îöåíêè (9.29) ïðèõîäèì ê (9.26),
à ñ ïîìîùüþ (9.25), (9.28) è âòîðîé îöåíêè (9.29)  ê (9.27). Òåì ñàìûì
ñëåäñòâèå 1 äîêàçàíî.
      Äîêàæåì ñëåäñòâèå 2. Ñîîòíîøåíèå (9.2) ñëåäóåò, î÷åâèäíî, êàê èç
(9.26), òàê è èç (9.27). Âûáåðåì j = j0 è j = j00 êàê öåëûå ÷àñòè ðåøåíèé
(îòíîñèòåëüíî j ) óðàâíåíèé ñîîòâåòñòâåííî

                     ky − yn k + kAx∗ − An x∗ k = q0j+1 kyn k,

Страницы